Ať už se jedná o bruslaře, který jí táhne do náruče a točí se rychleji, než ona, nebo o kočku, která řídí, jak rychle se točí během pádu, aby bylo zajištěno, že přistane na nohou, je pro fyziku rotace zásadní pojem momentu setrvačnosti pohyb.
Jinak známý jako rotační setrvačnost, moment setrvačnosti je rotační analog hmoty v druhý z Newtonových pohybových zákonů, který popisuje tendenci objektu odolat úhlovému zrychlení.
Koncept se na první pohled nemusí zdát příliš zajímavý, ale v kombinaci se zákonem zachování úhlu hybnost, lze ji použít k popisu mnoha fascinujících fyzikálních jevů a k předpovědi pohybu v širokém rozsahu situacích.
Definice Moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti pro objekt popisuje jeho odolnost vůči úhlovému zrychlení, což odpovídá rozdělení hmoty kolem jeho osy otáčení.
V podstatě kvantifikuje, jak obtížné je změnit rychlost rotace objektu, ať už to znamená zahájit jeho rotaci, zastavit ho nebo změnit rychlost již rotujícího objektu.
Někdy se tomu říká rotační setrvačnost a je užitečné o něm uvažovat jako o analogii hmoty ve druhém Newtonově zákoně:
Fsíť = ma. Hmota objektu se zde často nazývá setrvačná hmotnost a popisuje odolnost objektu vůči (lineárnímu) pohybu. Rotační setrvačnost funguje pro rotační pohyb právě takto a matematická definice vždy zahrnuje hmotnost.Vztahuje se ekvivalentní výraz k druhému zákonu pro rotační pohybtočivý moment (τ, rotační analog síly) na úhlové zrychleníαa moment setrvačnostiJá:
\ tau = já \ alfa
Stejný objekt může mít několik setrvačných momentů, protože zatímco velká část definice je o rozdělení hmoty, zohledňuje také umístění osy otáčení.
Například, zatímco moment setrvačnosti pro tyč rotující kolem jejího středu jeJá = ML2/ 12 (kdeMje hmota aLje délka tyče), stejná tyč rotující kolem jednoho konce má moment setrvačnosti danýJá = ML2/3.
Rovnice pro moment setrvačnosti
Moment setrvačnosti těla tedy závisí na jeho hmotnostiM, jeho poloměrRa jeho osa otáčení.
V některých případech,Rse označuje jakod, pro vzdálenost od osy otáčení a v ostatních (stejně jako u tyče v předchozí části) je nahrazena délkou,L. SymbolJáse používá pro moment setrvačnosti a má jednotky kg m2.
Jak můžete očekávat na základě toho, co jste se dosud naučili, existuje mnoho různých rovnic pro moment setrvačnosti a každá odkazuje na konkrétní tvar a konkrétní osu otáčení. Ve všech okamžicích setrvačnosti termínPAN2 Objeví se, i když pro různé tvary jsou před tímto termínem různé zlomky a v některých případech může být více termínů sečteno dohromady.
ThePAN2 složka je moment setrvačnosti pro hmotu bodu na dálkuRz osy otáčení a rovnice pro konkrétní tuhé těleso se vytvoří jako součet bodových hmot nebo integrací nekonečného počtu malých bodových hmot přes objekt.
I když v některých případech může být užitečné odvodit moment setrvačnosti objektu na základě jednoduchého aritmetického součtu hmotností bodů nebo integrace, v praxi existuje mnoho výsledků pro běžné tvary a osy otáčení, které můžete jednoduše použít, aniž byste je museli odvodit První:
Plný válec (osa symetrie):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Plný válec (středová osa průměru nebo průměr kruhového průřezu uprostřed válce):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Plná koule (střední osa):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Tenká sférická skořepina (středová osa):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Obruč (osa symetrie, tj. Kolmo středem):
I = MR ^ 2
Obruč (osa průměru, tj. Napříč průměrem kruhu tvořeného obručí):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Prut (středová osa, kolmá na délku prutu):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Tyč (otočná kolem konce):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotační setrvačnost a osa otáčení
Pochopení, proč existují různé rovnice pro každou osu otáčení, je klíčovým krokem k uchopení konceptu momentu setrvačnosti.
Přemýšlejte o tužce: Můžete ji otáčet otočením kolem středu, na konci nebo otočením kolem střední osy. Protože setrvačnost rotace objektu závisí na rozložení hmoty kolem osy otáčení, je každá z těchto situací odlišná a vyžaduje k jejímu popisu samostatnou rovnici.
Můžete instinktivně porozumět pojmu moment setrvačnosti, pokud tento stejný argument zvětšíte až na 30 stop dlouhý pól vlajky.
Točit to do konce by bylo velmi obtížné - pokud byste to vůbec zvládli - zatímco točení tyče kolem její středové osy by bylo mnohem snazší. Je to proto, že točivý moment silně závisí na vzdálenosti od osy otáčení a na 30 stopách Příklad vlajkového pólu, jeho otáčení na konci zahrnuje každý krajní konec vzdálený 15 stop od osy otáčení.
Pokud to však otočíte kolem střední osy, vše je docela blízko k ose. Situace je podobná přepravě těžkého předmětu na délku paže vs. držíte ji blízko těla nebo ovládáte páčku od konce vs. blízko osy otáčení.
Proto k popisu momentu setrvačnosti stejného objektu v závislosti na ose otáčení potřebujete jinou rovnici. Osa, kterou vyberete, ovlivňuje, jak daleko jsou části těla od osy otáčení, přestože hmotnost těla zůstává stejná.
Využití rovnic pro moment setrvačnosti
Klíčem k výpočtu momentu setrvačnosti tuhého tělesa je naučit se používat a aplikovat příslušné rovnice.
Vezměme si tužku z předchozí části, která se točí po celé délce kolem středového bodu po celé délce. I když to neníperfektnítyč (špičatý hrot například tento tvar rozbije), lze ji modelovat jako takovou, aby vám ušetřila nutnost projít celým okamžikem derivace setrvačnosti objektu.
Při modelování objektu jako tyče byste pomocí následující rovnice našli moment setrvačnosti v kombinaci s celkovou hmotou a délkou tužky:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Větší výzvou je nalezení momentu setrvačnosti pro kompozitní objekty.
Vezměme si například dvě koule spojené prutem (pro zjednodušení budeme považovat za nehmotné). Kulička jedna je 2 kg a je umístěna 2 m od osy otáčení a kulička dvě má hmotnost 5 kg a 3 m od osy otáčení.
V tomto případě můžete najít moment setrvačnosti pro tento složený objekt tak, že každou kouli považujete za hmotu bodu a vycházíte ze základní definice, že:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {zarovnáno}
S dolními indexy jednoduše rozlišování mezi různými objekty (tj. Míč 1 a míč 2). Objekt se dvěma kuličkami by pak měl:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {zarovnáno}
Moment setrvačnosti a zachování momentu hybnosti
Moment hybnosti (rotační analog pro lineární hybnost) je definován jako součin rotační setrvačnosti (tj. Moment setrvačnosti,Já) objektu a jeho úhlové rychlostiω), který se měří ve stupních / s nebo rad / s.
Nepochybně budete obeznámeni se zákonem zachování lineární hybnosti a hybnost hybnosti je také zachována stejným způsobem. Rovnice momentu hybnostiL) je:
L = Iω
Přemýšlení o tom, co to v praxi znamená, vysvětluje mnoho fyzikálních jevů, protože (při absenci dalších sil) platí, že čím vyšší je setrvačnost rotace objektu, tím nižší je jeho úhlová rychlost.
Zvažte bruslaře, který se točí konstantní úhlovou rychlostí s nataženými pažemi, a všimněte si, že jeho natažené paže zvětšují poloměrRkolem kterého je jeho hmota rozložena, což vede k většímu momentu setrvačnosti, než kdyby jeho paže byly blízko jeho těla.
LiL1 se počítá s nataženými pažemi aL2, po natažení paží musí mít stejnou hodnotu (protože moment hybnosti je zachován), co se stane, když sníží moment setrvačnosti natažením paží? Jeho úhlová rychlostωzvyšuje kompenzovat.
Kočky provádějí podobné pohyby, aby jim při pádu pomohly přistát na nohou.
Natažením nohou a ocasu zvyšují jejich moment setrvačnosti a snižují rychlost jejich otáčení, a naopak mohou natáhnout nohy, aby snížili svůj moment setrvačnosti a zvýšili rychlost otáčení. Používají tyto dvě strategie - spolu s dalšími aspekty svého „vzpřímeného reflexu“ - k zajištění toho, aby jim nohy přistály nejprve, a můžete vidět odlišné fáze stočení a protažení na časosběrných fotografiích kočky přistání.
Moment setrvačnosti a rotační kinetické energie
Pokračováním rovnoběžek mezi lineárním pohybem a rotačním pohybem mají objekty také rotační kinetickou energii stejným způsobem, jako mají lineární kinetickou energii.
Přemýšlejte o kouli, která se valí po zemi, jak se otáčí kolem své centrální osy, a pohybuje se vpřed lineárním způsobem: Celková kinetická energie koule je součtem její lineární kinetické energieEk a jeho rotační kinetická energieEtrouchnivění. Paralely mezi těmito dvěma energiemi se odrážejí v rovnicích pro obě, pamatujeme si, že objekt je moment setrvačnosti je rotační analog hmoty a jeho úhlová rychlost je rotační analog lineárního rychlostproti):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jasně vidíte, že obě rovnice mají přesně stejný tvar, přičemž za rovnici kinetické energie rotace byly nahrazeny příslušné rotační analogy.
Samozřejmě, pro výpočet kinetické energie rotace budete muset nahradit příslušný výraz pro moment setrvačnosti objektu do prostoru proJá. Vzhledem k míči a modelování objektu jako pevné koule je v tomto případě rovnice následující:
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {zarovnáno}
Celková kinetická energie (Etot) je součet této a kinetické energie koule, takže můžete napsat:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { zarovnaný}
U koule o hmotnosti 1 kg pohybující se lineární rychlostí 2 m / s, s poloměrem 0,3 ma úhlovou rychlostí 2π rad / s, by celková energie byla:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {zarovnáno}
V závislosti na situaci může mít objekt pouze lineární kinetickou energii (například koule, ze které spadl výška bez otáčení) nebo pouze rotační kinetická energie (míč se otáčí, ale zůstává na místě).
Pamatujte, že anocelkovýenergie, která je zachována. Pokud je míč kopán do zdi bez počáteční rotace a odrazí se zpět nižší rychlostí, ale s uděleným rotací, stejně jako energie ztratil zvuk a teplo, když se dostal do kontaktu, část počáteční kinetické energie byla převedena na rotační kinetickou energii, a taknemůžemožná se pohybujte tak rychle, jak to udělali, než se odrazili zpět.