V algebře jsou sekvence čísel cenné pro studium toho, co se stane, protože se něco stále zvětšuje nebo zmenšuje. Aritmetická posloupnost je definována společným rozdílem, což je rozdíl mezi jedním číslem a dalším v posloupnosti. Pro aritmetické sekvence je tento rozdíl konstantní hodnotou a může být kladný nebo záporný. Výsledkem je, že aritmetická sekvence se stále zvětšuje nebo zmenšuje o pevnou částku pokaždé, když je do seznamu tvořícího sekvenci přidáno nové číslo.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Aritmetická posloupnost je seznam čísel, ve kterých se po sobě jdoucí termíny liší konstantní hodnotou, běžným rozdílem. Když je společný rozdíl kladný, posloupnost se neustále zvyšuje o pevnou částku, zatímco pokud je záporná, posloupnost se snižuje. Další běžné posloupnosti jsou geometrická posloupnost, ve které se termíny liší společným faktorem, a Fibonacciho posloupnost, ve které je každé číslo součtem dvou předchozích čísel.
Jak funguje aritmetická sekvence
Aritmetická posloupnost je definována počátečním číslem, běžným rozdílem a počtem termínů v posloupnosti. Například aritmetická sekvence začínající na 12, běžný rozdíl 3 a pěti členů je 12, 15, 18, 21, 24. Příkladem sestupné sekvence je sekvence začínající číslem 3, běžný rozdíl −2 a šest členů. Tato posloupnost je 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetické sekvence mohou mít také nekonečný počet termínů. Například první výše uvedená sekvence s nekonečným počtem termínů bude 12, 15, 18,... a tato sekvence pokračuje do nekonečna.
Aritmetický průměr
Aritmetická posloupnost má odpovídající řadu, která přidává všechny pojmy posloupnosti. Když se sčítají termíny a součet se dělí počtem termínů, výsledkem je aritmetický průměr nebo průměr. Vzorec pro aritmetický průměr je
\ text {mean} = \ frac {\ text {součet} n \ text {termíny}} {n}
Rychlým způsobem výpočtu průměru aritmetické posloupnosti je použití pozorování, že když je první a poslední jsou přidány termíny, součet je stejný, jako když je přidán druhý a další předcházející termín nebo třetí a třetí předposlední termín podmínky. Výsledkem je, že součet posloupnosti je součtem prvního a posledního výrazu krát polovina počtu výrazů. Chcete-li získat průměr, součet se vydělí počtem členů, takže průměr aritmetické posloupnosti je polovina součtu prvního a posledního členu. PronpodmínkyA1 naAn, odpovídající vzorec pro průměr m je
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Nekonečné aritmetické sekvence nemají poslední člen, a proto je jejich průměr nedefinovaný. Místo toho lze najít průměr pro částečný součet omezením součtu na definovaný počet termínů. V takovém případě lze částečný součet a jeho průměr najít stejným způsobem jako u neomezené posloupnosti.
Další typy sekvencí
Sekvence čísel jsou často založeny na pozorováních z experimentů nebo měření přírodních jevů. Takovými sekvencemi mohou být náhodná čísla, ale často se ukáže, že sekvence jsou aritmetické nebo jiné uspořádané seznamy čísel.
Například geometrické sekvence se liší od aritmetických sekvencí, protože mají spíše společný faktor než společný rozdíl. Místo přidávání nebo odečítání čísla pro každý nový termín se číslo vynásobí nebo rozdělí pokaždé, když se přidá nový termín. Sekvence, která je 10, 12, 14,... jako aritmetická posloupnost se společným rozdílem 2 se stane 10, 20, 40,... jako geometrická posloupnost se společným faktorem 2.
Ostatní sekvence se řídí úplně jinými pravidly. Například termíny Fibonacciho sekvence jsou tvořeny přidáním předchozích dvou čísel. Jeho sekvence je 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Aby bylo možné získat částečný součet, musí být termíny přidány jednotlivě, protože rychlá metoda přidání prvního a posledního termínu pro tuto sekvenci nefunguje.
Aritmetické sekvence jsou jednoduché, ale mají skutečné aplikace. Pokud je výchozí bod známý a lze najít společný rozdíl, lze vypočítat hodnotu řady v určitém budoucím bodě a také určit průměrnou hodnotu.