V matematice je posloupnost jakýkoli řetězec čísel uspořádaný ve vzestupném nebo sestupném pořadí. Sekvence se stane geometrickou sekvencí, když jste schopni získat každé číslo vynásobením předchozího čísla společným faktorem. Například série 1, 2, 4, 8, 16... je geometrická posloupnost se společným faktorem 2. Pokud vynásobíte libovolné číslo v řadě číslem 2, získáte další číslo. Naproti tomu sekvence 2, 3, 5, 8, 14, 22... není geometrický, protože mezi čísly není žádný společný faktor. Geometrická posloupnost může mít zlomkový společný faktor, v takovém případě je každé následující číslo menší než předcházející číslo. 1, 1/2, 1/4, 1/8... je příklad. Jeho společný faktor je 1/2.
Skutečnost, že geometrická posloupnost má společný faktor, vám umožňuje dělat dvě věci. Prvním je výpočet libovolného náhodného prvku v posloupnosti (který matematici rádi nazývají „nth "prvek) a druhým je nalezení součtu geometrické posloupnosti až knth prvek. Když sečtete sekvenci vložením znaménka plus mezi každou dvojici výrazů, otočíte sekvenci do geometrické řady.
Nalezení n-tého prvku v geometrické řadě
Obecně můžete libovolnou geometrickou řadu reprezentovat následujícím způsobem:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
kde "A„je první termín v sérii a“r"je společný faktor. Chcete-li to zkontrolovat, zvažte řadu, ve kteréA= 1 ar= 2. Získáte 1 + 2 + 4 + 8 + 16... funguje to!
Po zavedení je nyní možné odvodit vzorec pro n-tý člen v pořadí (Xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Exponent jen- Spíše než 1naby bylo možné zapsat první výraz v pořadí jakoar0, což se rovná „A."
Zkontrolujte to výpočtem 4. termínu v příkladové sérii.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Výpočet součtu geometrické posloupnosti
Pokud chcete sečíst divergentní sekvenci, která má společnou dávku větší než 1 nebo menší než -1, můžete tak učinit pouze do konečného počtu členů. Je možné vypočítat součet nekonečné konvergentní sekvence, která je sekvence se společným poměrem mezi 1 a - 1.
Chcete-li vytvořit vzorec geometrického součtu, začněte zvážením toho, co děláte. Hledáte celkem následující sérii doplňků:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Každý termín v sérii jeark, akjde od 0 don− 1. Vzorec pro součet řady využívá znak velkého sigma - ∑ - což znamená přidat všechny výrazy z (k= 0) do (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Chcete-li to zkontrolovat, zvažte součet prvních 4 členů geometrické řady začínající na 1 a mající společný faktor 2. Ve výše uvedeném vzorciA = 1, r= 2 an= 4. Po připojení těchto hodnot získáte:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
To lze snadno ověřit přidáním čísel v sérii sami. Ve skutečnosti, když potřebujete součet geometrické řady, je obvykle jednodušší přidat čísla sami, když existuje jen několik výrazů. Pokud má řada velký počet výrazů, je mnohem jednodušší použít vzorec geometrického součtu.