Integrace funkcí je jednou z hlavních aplikací kalkulu. Někdy je to jednoduché, jako například v:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
V poměrně komplikovaném příkladu tohoto typu můžete použít verzi základního vzorce pro integraci neurčitých integrálů:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
kdeAaCjsou konstanty.
Pro tento příklad tedy
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integrace základních funkcí odmocniny
Na povrchu je integrace druhé odmocniny nepříjemná. Například vás mohou stymied:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Ale můžete vyjádřit druhou odmocninu jako exponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integrál se proto stává:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
na který můžete použít obvyklý vzorec shora:
\ begin {zarovnáno} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {zarovnáno}
Integrace složitějších funkcí odmocniny
Někdy můžete mít pod radikálním znaménkem více než jeden výraz, jako v tomto příkladu:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Můžeš použítu-střídání pokračovat. Tady jsteurovné množství ve jmenovateli:
u = \ sqrt {x - 3}
Vyřešte to proXvyrovnáním obou stran a odečtením:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
To vám umožní získat dx, pokud jde oupřevzetím derivátuX:
dx = (2u) du
Nahrazení zpět do původního integrálního dává
\ begin {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {zarovnáno}
Nyní to můžete integrovat pomocí základního vzorce a vyjádřeníuve smysluX:
\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {zarovnáno}