Trigonometrie se může cítit jako docela abstraktní předmět. Tajemné výrazy jako „hřích“ a „cos“ zřejmě ve skutečnosti neodpovídají ničemu a je těžké je pochopit jako pojmy. Kružnice jednotek s tím podstatně pomáhá a nabízí přímé vysvětlení toho, jaká čísla získáte, když vezmete sinus, kosinus nebo tangens úhlu. Pro všechny studenty přírodních věd nebo matematiky může porozumění jednotkovému kruhu skutečně upevnit vaše chápání trigonometrie a toho, jak používat funkce.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Jednotková kružnice má poloměr jedna. Představte sixysouřadnicový systém začínající ve středu této kružnice. Úhly bodů se měří od místa, odkudX= 1 ay= 0, na pravé straně kruhu. Úhly se zvětšují, když se pohybujete proti směru hodinových ručiček.
Pomocí tohoto rámce ayproy-koordinovaný aXproX- souřadnice bodu na kružnici:
hříchθ = y
cosθ = X
A následně:
opáleníθ = y / X
Co je kruh jednotek?
„Jednotková“ kružnice má poloměr 1. Jinými slovy, vzdálenost od středu kruhu k jakékoli části hrany je vždy 1. Na jednotce měření vlastně nezáleží, protože nejdůležitější na jednotkové kružnici je to, že mnohem zjednodušuje mnoho rovnic a výpočtů.
Slouží také jako užitečný základ pro zkoumání definic úhlů. Představte si, že střed kruhu leží uprostřed souřadného systému sX-osa běžící vodorovně ay- osa běží svisle. Kruh prochází přesX- osa vX = 1, y= 0. Vědci a matematici definují úhel od tohoto bodu pohybující se proti směru hodinových ručiček. Takže pointaX =1, y= 0 na kružnici je v úhlu 0 °.
Definice hříchu a kosu s kruhem jednotky
Běžné definice hříchu, kosu a opálení dané studentům se týkají trojúhelníků. Uvádějí:
\ sin θ = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {sousední}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
„Protiklad“ označuje délku strany trojúhelníku naproti úhlu, „sousední“ označuje délka strany vedle úhlu a „přepona“ označuje délku úhlopříčné strany trojúhelník.
Představte si, že vytvoříte trojúhelník tak, aby přepona byla vždy poloměr jednotkové kružnice, s jedním rohem na okraji kruhu a jedním ve středu. To znamená, že přepona = 1 ve výše uvedených rovnicích, takže první dvě se stanou:
\ sin θ = \ frac {\ text {naproti}} {1} = \ text {naproti} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {sousední}} {1} = \ text {sousední} \\
Pokud uděláte dotyčný úhel ve středu kruhu, opak je právě teny-koordinovaný a sousední je jenX- souřadnice bodu na kružnici, která se dotýká trojúhelníku. Jinými slovy, hřích vracíy- souřadnice na jednotkové kružnici (pomocí souřadnic, které začínají ve středu) pro daný úhel a cos vracíX-koordinovat. Proto cos (0) = 1 a sin (0) = 0, protože v tomto okamžiku se jedná o souřadnice. Stejně tak cos (90) = 0 a sin (90) = 1, protože to je bod sX= 0 ay= 1. Ve formě rovnice:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Na základě toho lze snadno pochopit i záporné úhly. Záporné úhly (měřeno ve směru hodinových ručiček od počátečního bodu) mají stejnéXsouřadnice jako odpovídající kladný úhel, takže:
\ cos -θ = \ cos θ
Nicméněy-koordinované přepínače, což znamená, že
\ sin -θ = - \ sin θ
Definice Tan With the Unit Circle
Definice tan uvedená výše je:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Ale s definicemi jednotkových kruhů sin a cos můžete vidět, že to odpovídá:
\ tan θ = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {sousední}}
Nebo uvažování z hlediska souřadnic:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
To vysvětluje, proč je opálení nedefinováno pro 90 ° nebo -270 ° a 270 ° nebo -90 ° (kdeX= 0), protože nemůžete dělit nulou.
Grafické trigonometrické funkce
Grafy sin nebo cos budou snazší, když pomyslíte na kruh jednotek. TheX-coordinate varies smoothly as you move around the circle, počínaje 1 a klesající na minimum -1 při 180 °, a poté se zvyšuje stejným způsobem. Funkce sin dělá totéž, ale nejdříve se zvýší na maximální hodnotu 1 při 90 °, poté se bude řídit stejným vzorem. O těchto dvou funkcích se říká, že jsou navzájem 90 ° mimo „fázi“.
Grafické opálení vyžaduje děleníypodleX, a je tedy složitější grafovat, a má také body, kde je nedefinováno.