Zákon sinusů je vzorec, který porovnává vztah mezi úhly trojúhelníku a délkami jeho stran. Pokud znáte alespoň dvě strany a jeden úhel nebo dva úhly a jednu stranu, můžete pomocí sinusového zákona najít další chybějící informace o vašem trojúhelníku. Za velmi omezených okolností však můžete skončit dvěma odpověďmi na míru jednoho úhlu. Toto je známé jako nejednoznačný případ sinusového zákona.
Když se může stát nejednoznačný případ
Nejasný případ zákonu sinusů se může stát pouze tehdy, když se část „známé informace“ vašeho trojúhelníku skládá ze dvou stran a úhlu, kde úhel jenemezi dvěma známými stranami. Toto je někdy zkráceno jako trojúhelník SSA nebo boční úhel. Pokud by úhel byl mezi dvěma známými stranami, zkrátil by se jako SAS nebo trojúhelník s bočním úhlem a nejednoznačný případ by se nepoužil.
Rekapitulace sinusového zákona
Zákon sinusů lze psát dvěma způsoby. První formulář je vhodný pro zjištění míry chybějících stran:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
Druhá forma je vhodná pro hledání míry chybějících úhlů:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Všimněte si, že obě formy jsou ekvivalentní. Použití jednoho nebo druhého formuláře nezmění výsledek vašich výpočtů. Jen jim usnadňuje práci v závislosti na řešení, které hledáte.
Jak vypadá nejednoznačný případ
Ve většině případů je jediným vodítkem, že můžete mít nejednoznačný případ na rukou, přítomnost trojúhelníku SSA, kde budete požádáni o nalezení jednoho z chybějících úhlů. Představte si, že máte trojúhelník s úhlemA= 35 stupňů, bočníA= 25 jednotek a bočníb= 38 jednotek a byli jste požádáni, abyste našli měření úhluB. Jakmile najdete chybějící úhel, musíte zkontrolovat, zda platí nejednoznačný případ.
Vložte své známé informace do sinusového zákona. Pomocí druhého formuláře získáte:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Ignorovat hřích (C)/C; pro účely tohoto výpočtu je to irelevantní. Takže opravdu máte:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
Vyřešit proB. Jednou z možností je křížení; toto vám dává:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
Dále to zjednodušte pomocí kalkulačky nebo grafu, abyste zjistili hodnotu hříchu (35). Je to přibližně 0,57358, což vám dává:
25 × \ sin (B) = 38 × 0,57358
což zjednodušuje:
25 × \ sin (B) = 21,79604
Dále rozdělte obě strany o 25, abyste izolovali hřích (B), což vám:
\ sin (B) = 0,8718416
Dokončit řešení proB, vezměte arkusinus nebo inverzní sinus 0,8718416. Nebo jinými slovy použijte kalkulačku nebo graf k vyhledání přibližné hodnoty úhlu B, který má sinus 0,8718416. Tento úhel je přibližně 61 stupňů.
Zkontrolujte případ nejednoznačnosti
Nyní, když máte počáteční řešení, je čas zkontrolovat nejednoznačný případ. Tento případ se objeví, protože pro každý ostrý úhel existuje tupý úhel se stejným sinusem. Takže zatímco ~ 61 stupňů je ostrý úhel, který má sinus 0,8718416, musíte jako možné řešení také zvážit tupý úhel. To je trochu složité, protože vaše kalkulačka a graf sinusových hodnot vám s největší pravděpodobností neřeknou o tupém úhlu, takže si musíte pamatovat, abyste to zkontrolovali.
Najděte tupý úhel se stejným sinusem odečtením úhlu, který jste našli - 61 stupňů - od 180. Takže máte 180 - 61 = 119. 119 stupňů je tedy tupý úhel, který má stejný sinus jako 61 stupňů. (Můžete to zkontrolovat pomocí kalkulačky nebo sinusového grafu.)
Ale vytvoří tento tupý úhel platný trojúhelník s dalšími informacemi, které máte? Můžete snadno zkontrolovat přidáním tohoto nového tupého úhlu do „známého úhlu“, který jste dostali v původním problému. Pokud je celkový součet menší než 180 stupňů, tupý úhel představuje platné řešení a v dalších výpočtech budete muset pokračovatobav úvahu platné trojúhelníky. Pokud je součet více než 180 stupňů, tupý úhel nepředstavuje platné řešení.
V tomto případě byl „známý úhel“ 35 stupňů a nově objevený tupý úhel byl 119 stupňů. Takže máš:
119 + 35 = 154 \ text {stupně}
Protože 154 stupňů <180 stupňů platí nejednoznačný případ a máte dvě platná řešení: Dotčený úhel může měřit 61 stupňů nebo může měřit 119 stupňů.