Periodická funkce je funkce, která opakuje své hodnoty v pravidelných intervalech nebo „periodách“. Myslet na je to jako tlukot srdce nebo základní rytmus v písni: Opakuje stejnou aktivitu v ustáleném rytmu. Graf periodické funkce vypadá, jako by se jeden vzor opakoval znovu a znovu.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Periodická funkce opakuje své hodnoty v pravidelných intervalech nebo „periodách“.
Druhy periodických funkcí
Nejznámějšími periodickými funkcemi jsou trigonometrické funkce: sinus, kosinus, tangenta, kotangens, sekans, kosekans atd. Mezi další příklady periodických funkcí v přírodě patří světelné vlny, zvukové vlny a fáze měsíce. Každý z nich, když je zobrazen v grafu na rovině souřadnic, vytváří opakující se vzor ve stejném intervalu, což usnadňuje předvídání.
Perioda periodické funkce je interval mezi dvěma „shodnými“ body v grafu. Jinými slovy, je to vzdálenost podélX- osa, že funkce musí cestovat, než začne opakovat svůj vzor. Základní sinusové a kosinové funkce mají periodu 2π, zatímco tečna má periodu π.
Dalším způsobem, jak porozumět periodě a opakování trigových funkcí, je přemýšlet o nich z hlediska jednotkového kruhu. Když se velikost jednotky zvětšuje, hodnoty v kruhu jednotky procházejí dokola. Tento opakovaný pohyb je stejná myšlenka, která se odráží v ustáleném vzoru periodické funkce. A pro sinus a kosinus musíte udělat celou cestu kolem kruhu (2π), než se hodnoty začnou opakovat.
Rovnice pro periodickou funkci
Periodickou funkci lze také definovat jako rovnici s tímto tvarem:
f (x + nP) = f (x)
KdePje období (nenulová konstanta) anje kladné celé číslo.
Například můžete napsat funkci sine takto:
\ sin (x + 2π) = \ sin (x)
n= 1 v tomto případě a období,P, pro funkci sine je 2π.
Vyzkoušejte to vyzkoušením několika hodnotX, nebo se podívejte na graf: Vyberte libovolnéX-value, poté posuňte 2π v obou směrech podélX-osa; they-hodnota by měla zůstat stejná.
Teď to zkuste kdyn = 2:
\ sin (x + (2 × 2π)) = \ sin (x) \\ \ sin (x + 4π) = \ sin (x)
Vypočítejte pro různé hodnotyX: X = 0, X = π, X= π / 2, nebo to zkontrolujte na grafu.
Kotangensová funkce se řídí stejnými pravidly, ale její perioda je π radiánů místo 2π radiánů, takže její graf a její rovnice vypadají takto:
\ postýlka (x + nπ) = \ postýlka (x)
Všimněte si, že tangensové a kotangensové funkce jsou periodické, ale nejsou spojité: V jejich grafech jsou „zlomy“.