Většina lidí si pamatujePythagorova větaod geometrie pro začátečníky - je to klasika. Své
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kdeA, baCjsou strany pravoúhlého trojúhelníku (Cje přepona). Tuto větu lze také přepsat na trigonometrii!
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Pythagorovy identity jsou rovnice, které píšou Pythagorovu větu z hlediska trigových funkcí.
HlavníPythagorovy identityjsou:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Příkladem jsou Pythagorovy identitytrigonometrické identity: rovnosti (rovnice), které používají trigonometrické funkce.
Proč tě to zajímá?
Pythagorovy identity mohou být velmi užitečné pro zjednodušení komplikovaných trigových příkazů a rovnic. Zapamatujte si je nyní a můžete si ušetřit spoustu času na cestě!
Důkaz použití definic trigových funkcí
Tyto identity lze celkem snadno dokázat, pokud uvažujete o definicích trigových funkcí. Například to dokážme
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Nezapomeňte, že definice sinu je opačná strana / přepona a že kosinus je sousední strana / přepona.
Tak
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {naproti} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
A
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {sousední} ^ 2} {\ text {přepona} ^ 2}
Tyto dva můžete snadno přidat, protože jmenovatelé jsou stejní.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {naproti} ^ 2 + \ text {sousední} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Nyní se znovu podívejte na Pythagorovu větu. Říká toA2 + b2 = C2. Mějte na paměti, žeAab- stojí na opačné a přilehlé straně a -Cznamená přepona.
Rovnici můžete změnit tak, že obě strany vydělíteC2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Od té dobyA2 ab2 jsou opačné a přilehlé strany aC2 je přepona, máte ekvivalentní prohlášení k té výše, s (naproti2 + sousední2) / přepona2. A díky práci sA, b, Ca Pythagorova věta, nyní můžete vidět, že toto tvrzení se rovná 1!
Tak
\ frac {\ text {naproti} ^ 2 + \ text {sousední} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
a proto:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(A je lepší to správně napsat: hřích2(θ) + cos2(θ) = 1).
Vzájemné identity
Pojďme se na pár minut podívat navzájemné identitytaké. Pamatujte, žerecipročníje číslo vydělené („nad“) vaším číslem - známé také jako inverzní.
Vzhledem k tomu, kosekans je reciproční sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Můžete také přemýšlet o kosekans pomocí definice sinu. Například sine = opačná strana / přepona. Inverzní bude zlomek převrácený vzhůru nohama, což je přepona / opačná strana.
Podobně je kosinová reciproká sečna, takže je definována jako
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {nebo} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {sousední strana}}
A tangenta je reciproční je kotangens, takže
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {sousední strana}} {\ text {protilehlá strana}}
Důkazy pro Pythagorovu identitu pomocí sekans a kosekans jsou velmi podobné těm pro sine a kosinus. Rovnice můžete také odvodit pomocí „mateřské“ rovnice, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Rozdělte obě strany cos2(θ) pro získání identity 1 + opálení2(θ) = sek2(θ). Rozdělte obě strany hříchem2(θ) pro získání identity 1 + dětská postýlka2(θ) = csc2(θ).
Hodně štěstí a nezapomeňte si zapamatovat tři Pythagorovy identity!