Jak najít svislé a vodorovné asymptoty

Když jsou vyjádřeny v grafu, některé funkce jsou spojité od záporného nekonečna do kladného nekonečna. To však neplatí vždy: jiné funkce se přerušují v bodě diskontinuity nebo se vypnou a nikdy se nedostanou za určitý bod grafu. Vertikální a horizontální asymptoty jsou přímé čáry, které definují hodnotu, ke které se daná funkce blíží, pokud se nerozšíří do nekonečna v opačných směrech. Horizontální asymptoty se vždy řídí vzorcem y = C, zatímco vertikální asymptoty se vždy řídí podobným vzorcem x = C, kde hodnota C představuje libovolnou konstantu. Hledání asymptot, ať už jsou asymptoty vodorovné nebo svislé, je snadný úkol, pokud provedete několik kroků.

Chcete-li najít svislou asymptotu, nejprve napište funkci, u které chcete určit asymptotu. S největší pravděpodobností bude tato funkce racionální funkcí, kde je proměnná x zahrnuta někde ve jmenovateli. Je pravidlem, že když se jmenovatel racionální funkce blíží nule, má svislou asymptotu. Jakmile vypíšete svou funkci, najděte hodnotu x, která činí jmenovatele rovným nule. Jako příklad, pokud je funkce, se kterou pracujete, y = 1 / (x + 2), vyřešíte rovnici x + 2 = 0, rovnici, která má odpověď x = -2. Pro složitější funkce může existovat více než jedno možné řešení.

Jakmile najdete hodnotu x vaší funkce, vezměte limit funkce, protože x se blíží hodnotě, kterou jste našli z obou směrů. V tomto příkladu, jak x se blíží -2 zleva, y se blíží zápornému nekonečnu; když je -2 přiblíženo zprava, y se blíží k pozitivnímu nekonečnu. To znamená, že graf funkce se rozdělí na diskontinuitě, skáče z negativního nekonečna do pozitivního nekonečna. Pokud pracujete s komplexnější funkcí, která má více než jedno možné řešení, budete muset vzít limit každého možného řešení. Nakonec napište rovnice vertikálních asymptot funkce nastavením x rovného každé z hodnot použitých v limitech. V tomto příkladu existuje pouze jedna asymptota: vzhledem k rovnici se vertikální asymptota rovná x = -2.

Zatímco pravidla horizontálních asymptot se mohou mírně lišit od pravidel vertikálních asymptot, proces hledání horizontálních asymptot je stejně jednoduchý jako hledání vertikálních. Začněte napsáním své funkce. Horizontální asymptoty lze nalézt v nejrůznějších funkcích, ale opět se s největší pravděpodobností najdou v racionálních funkcích. V tomto příkladu je funkce y = x / (x-1). Vezměte limit funkce, když se x blíží nekonečnu. V tomto příkladu lze „1“ ignorovat, protože se stane nevýznamným, když se x blíží nekonečnu (protože nekonečno minus 1 je stále nekonečno). Funkce se tedy stane x / x, což se rovná 1. Proto se limit, když se x blíží nekonečnu x / (x-1), rovná 1.

Použijte řešení limitu k napsání asymptotické rovnice. Pokud je řešením pevná hodnota, existuje vodorovná asymptota, ale pokud je řešení nekonečno, neexistuje žádná vodorovná asymptota. Pokud je řešením jiná funkce, existuje asymptota, ale není ani vodorovná, ani svislá. V tomto příkladu je vodorovná asymptota y = 1.

Při řešení problémů s trigonometrickými funkcemi, které mají asymptoty, se nebojte: hledání asymptot pro tyto funkce je jednoduché jako postupovat podle stejných kroků, které používáte k nalezení vodorovných a svislých asymptot racionálních funkcí, pomocí různých limity. Při pokusu o to je však důležité si uvědomit, že trigové funkce jsou cyklické a ve výsledku mohou mít mnoho asymptot.