Jak zjistit období funkce

Když vytvoříte graf trigonometrických funkcí, zjistíte, že jsou periodické; to znamená, že produkují výsledky, které se předvídatelně opakují. Chcete-li zjistit období dané funkce, potřebujete určitou znalost každé z nich a to, jak variace v jejich použití ovlivňují období. Jakmile zjistíte, jak fungují, můžete oddělit spouštěcí funkce a bez problémů najít období.

TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)

Perioda sinusových a kosinových funkcí je 2π (pi) radiánů nebo 360 stupňů. Pro tangenciální funkci je perioda π radiánů nebo 180 stupňů.

Když je vykreslíte do grafu, trigonometrické funkce vytvářejí pravidelně se opakující tvary vln. Jako každá vlna, i tvary mají rozpoznatelné rysy, jako jsou vrcholy (vysoké body) a žlaby (nízké body). Období vám říká úhlovou „vzdálenost“ jednoho celého cyklu vlny, obvykle měřenou mezi dvěma sousedními vrcholy nebo žlaby. Z tohoto důvodu v matematice měříte periodu funkce v úhlových jednotkách. Například, počínaje úhlem nula, sinusová funkce vytváří hladkou křivku, která stoupá na maximum 1 při π / 2 radiánech (90 stupňů), protíná nulu na π radiánech (180 stupňů), klesá na minimum −1 na 3π / 2 radiánech (270 stupňů) a opět dosahuje nuly na 2π radiánech (360 stupňů). Po tomto bodě se cyklus opakuje neomezeně, produkuje stejné vlastnosti a hodnoty, jako se úhel zvětšuje v kladné hodnotě

Funkce sinus i kosinus mají periodu 2π radiánů. Kosinová funkce je velmi podobná sinusu, kromě toho, že je „před“ sinusem o π / 2 radiány. Funkce sine nabývá hodnoty nula v nulových stupních, kde jako kosinus je 1 ve stejném bodě.

Tečnou funkci získáte dělením sinu kosinusem. Jeho perioda je π radiánů nebo 180 stupňů. Graf tečny (X) je nula pod nulovým úhlem, křivky vzhůru, dosahují 1 na π / 4 radiánech (45 stupňů), poté se opět křivky nahoru, kde dosahují bodu dělení nulou na π / 2 radiány. Funkce se poté stává záporným nekonečnem a sleduje zrcadlový obraz pod y osa, dosahující -1 na 3π / 4 radiánech, a prochází přes y osa na π radiánech. Ačkoli má X hodnoty, při kterých se stane nedefinovanou, má funkce tangenta stále definovatelné období.

Tři další spouštěcí funkce, kosekans, sekans a kotangens, jsou převrácené hodnoty sinu, kosinu a tangenty. Jinými slovy, kosekans (X) je 1 / hřích (X), secant (X) = 1 / cos (X) a dětská postýlka (X) = 1 / opálení (X). I když jejich grafy mají nedefinované body, periody pro každou z těchto funkcí jsou stejné jako pro sinus, kosinus a tangens.

Vynásobením X v trigonometrické funkci o konstantu můžete její období zkrátit nebo prodloužit. Například pro funkci sin (2_x_) je období polovinou jeho normální hodnoty, protože argument X je zdvojnásoben. Dosahuje svého prvního maxima v π / 4 radiánech namísto π / 2 a dokončí celý cyklus v π radiánech. Mezi další faktory, které běžně vidíte u trigových funkcí, patří změny fáze a amplitudy, kde fáze popisuje změnu počáteční bod v grafu a amplituda je maximální nebo minimální hodnota funkce, ignoruje záporné znaménko na minimu. Například výraz 4 × sin (2_x_ + π) dosáhne maxima 4 kvůli multiplikátoru 4 a začíná zakřivením směrem dolů místo nahoru kvůli konstantě π přidané k období. Upozorňujeme, že ani 4, ani konstanty π neovlivňují periodu funkce, pouze její počáteční bod a maximální a minimální hodnoty.