Jak najít největší společný faktor dvou čísel

Nalezení největšího společného faktoru neboli GCF dvou čísel je užitečné v mnoha situacích v matematice, ale zejména pokud jde o zjednodušení zlomků. Pokud s tím bojujete nebo hledáte společné jmenovatele, naučení se dvou metod hledání společných faktorů vám pomůže dosáhnout toho, co jste si předsevzali. Nejprve je dobré se naučit základy faktorů; pak se můžete podívat na dva přístupy k hledání společných faktorů. Nakonec se můžete podívat, jak uplatnit své znalosti ke zjednodušení zlomku.

Faktory jsou čísla, která společně vynásobíte a vytvoříte další číslo. Například 2 a 3 jsou faktory 6, protože 2 × 3 = 6. Podobně 3 a 3 jsou faktory 9, protože 3 × 3 = 9. Jak možná víte, prvočísla jsou čísla, která nemají žádné jiné faktory než sebe a 1. Takže 3 je prvočíslo, protože pouze dvě celá čísla (celá čísla), která se mohou znásobit a dát 3 jako odpověď, jsou 3 a 1. Stejným způsobem je 7 prvočíslo, stejně jako 13.

Z tohoto důvodu je často užitečné rozdělit číslo na „hlavní faktory“. To znamená najít všechny faktory prvočísla jiného čísla. V zásadě rozděluje toto číslo na své základní „stavební kameny“, což je užitečný krok směrem najít největší společný faktor dvou čísel a je také neocenitelný, pokud jde o zjednodušení čtverce kořeny.

Nejjednodušší metodou pro nalezení největšího společného faktoru dvou čísel je jednoduše vyjmenovat všechny faktory každého čísla a hledat nejvyšší číslo, které obě sdílejí. Představte si, že chcete najít nejvyšší společný faktor 45 a 60. Nejprve se podívejte na různá čísla, která můžete společně vynásobit a vytvořit 45.

Nejjednodušší způsob, jak začít, jsou dva, o kterých víte, že budou fungovat, dokonce i pro prvočíslo. V tomto případě víme 1 × 45 = 45, takže víme, že 1 a 45 jsou faktory 45. Toto je první a poslední faktor 45, takže odtud stačí vyplnit. Dále zjistěte, zda je 2 faktor. To je snadné, protože každé sudé číslo bude dělitelné 2 a jakékoli liché číslo nebude. Víme tedy, že 2 není faktor 45. A co 3? Měli byste být schopni si všimnout, že 3 je faktor 45, protože 3 × 15 = 45 (vždy můžete stavět na tom, co jste víte, jak to vyřešit, například budete vědět, že 3 × 12 = 36, a přidání tří k tomu vás vede 45).

Dále je 4 faktor 45? Ne - víte 11 × 4 = 44, takže to nemůže být! Dále, co 5? Toto je další snadné, protože jakékoli číslo končící na 0 nebo 5 je dělitelné 5. A díky tomu můžete snadno zjistit, že 5 × 9 = 45. Ale 6 není dobré, protože 7 × 6 = 42 a 8 × 6 = 48. Z toho také vidíte, že 7 a 8 nejsou faktory 45. Již víme, že 9 je, a je snadné vidět, že 10 a 11 nejsou faktory. Pokračujte v tomto procesu a zjistíte, že 15 je faktor, ale nic jiného není.

Faktory 45 jsou tedy: 1, 3, 5, 9, 15 a 45.

U 60 let procházíte přesně stejným procesem. Tentokrát je číslo sudé (takže víte, že 2 je faktor) a dělitelné 10 (takže 5 a 10 jsou oba faktory), což věci trochu usnadňuje. Po dalším projití procesu byste měli vidět, že faktory 60 jsou: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

Porovnání obou seznamů ukazuje, že 15 je největší společný faktor 45 a 60. Tato metoda může být časově náročná, ale je jednoduchá a vždy bude fungovat. Můžete také začít s jakýmkoli vysokým běžným faktorem, který hned zjistíte, a pak jednoduše hledat vyšší faktory každého čísla.

Druhou metodou hledání GCF pro dvě čísla je použití prvočísel. Proces primární faktorizace je o něco jednodušší a strukturovanější než nalezení každého faktoru. Pojďme projít procesem pro 42 a 63.

Proces prvočíselné faktorizace v zásadě zahrnuje rozdělení čísla, dokud vám nezůstanou jen prvočísla. Nejlepší je začít s nejmenšími prime (dva) a pracovat odtud. U 42 je tedy snadné vidět, že 2 × 21 = 42. Pak práce od 21: Je 2 faktor? Ne. Je 3? Ano! 3 × 7 = 21 a 3 a 7 jsou prvočísla. To znamená, že hlavní faktory 42 jsou 2, 3 a 7. První „zlom“ použil 2 na 21 a druhý to rozdělil na 3 a 7. Můžete to zkontrolovat vynásobením všech svých faktorů dohromady a kontrolou, že získáte původní číslo: 2 × 3 × 7 = 42.

Pro 63 není 2 faktor, ale 3 je, protože 3 × 21 = 63. Opět platí, že 21 se rozpadá na 3 a 7 - obě hlavní - takže znáte hlavní faktory! Kontrola ukazuje, že 3 × 3 × 7 = 63, podle potřeby.

Nejvyšší společný faktor najdete pohledem na to, které hlavní faktory mají obě čísla společná. V tomto případě 42 má 2, 3 a 7 a 63 má 3, 3 a 7. Mají společné 3 a 7. Chcete-li najít nejvyšší společný faktor, vynásobte všechny společné hlavní faktory společně. V tomto případě je 3 × 7 = 21, takže 21 je největší společný faktor 42 a 63.

Tímto způsobem lze předchozí příklad vyřešit rychleji. Protože 45 je dělitelné třemi (3 × 15 = 45) a 15 je také dělitelné třemi (3 × 5 = 15), hlavní faktory 45 jsou 3, 3 a 5. U 60 je to dělitelné dvěma (2 × 30 = 60), 30 je také dělitelné dvěma (2 × 15 = 30), a pak vám zbývá 15, o kterých víme, že mají tři a pět jako hlavní faktory, opuštění 2, 2, 3 a 5. Při srovnání těchto dvou seznamů jsou tři a pět společné primární faktory, takže největší společný faktor je 3 × 5 = 15.

V případě, že existují tři nebo více společných hlavních faktorů, vynásobíte je všechny stejným způsobem, abyste našli největší společný faktor.

Pokud se vám zobrazí zlomek jako 32/96, můžete provést jakékoli výpočty, které přijdou po něm, velmi komplikované, pokud nenajdete způsob, jak zlomek zjednodušit. Nalezení nejnižšího společného faktoru 32 a 96 vám řekne číslo, které vydělíte oběma, abyste získali jednodušší zlomek. V tomto případě:

Pro 96 proces dává:

Mělo by být jasné, že 2⁵ = 32 je nejvyšší společný faktor. Vydělením obou částí zlomku 32 získáte:

Hledání společných jmenovatelů je podobný proces. Představte si, že jste museli přidat zlomky 15/45 a 40/60. Z prvního příkladu víme, že 15 je nejvyšší společný faktor 45 a 60, takže je můžeme okamžitě vyjádřit jako 5/15 a 10/15. Jelikož 3 × 5 = 15 a oba čitatele jsou také dělitelné pěti, můžeme rozdělit obě části obou zlomků pěti, abychom dostali 1/3 a 2/3. Nyní je mnohem snazší je přidat a vidět