Pouhá zmínka o slově trigonometrie by vám mohla otřásat mráz po zádech a vyvolat vzpomínky na hodiny matematiky na střední škole a tajemné výrazy jako hřích, kos a opálení, které nikdy úplně nevypadaly smysl. Pravdou však je, že trigonometrie má širokou škálu aplikací, zejména pokud se v rámci dalšího vzdělávání věnujete přírodním vědám nebo matematice. Pokud si nejste jisti, co tečna ve skutečnosti znamená nebo jak z ní extrahujete užitečné informace, naučíte se převádět tečny na stupně a zavádíte nejdůležitější pojmy.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
U standardního pravoúhlého trojúhelníku je opálení úhlu (θ) říká ti:
Tan (θ) = naproti / sousedící
S protilehlým a sousedním stojícím na délkách těchto příslušných stran.
Převést tangenty na stupně pomocí vzorce:
Úhel ve stupních = arctan (tan (θ))
Zde arctan obrací tangenciální funkci a lze jej na většině kalkulaček najít jako opálení−1.
Co je to tečna?
V trigonometrii lze tečnu úhlu najít pomocí délek stran pravoúhlého trojúhelníku obsahujícího úhel. Sousední strana sedí vodorovně vedle úhlu, který vás zajímá, a opačná strana stojí svisle, naproti úhlu, který vás zajímá. Zbývající strana, přepona, hraje roli v definici cos a hříchu, ale ne opálení.
S ohledem na tento obecný trojúhelník, tečna úhlu (θ) lze najít pomocí:
\ tan (θ) = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {sousední}}
Zde opačné a přilehlé popisují délky stran, které dostaly tato jména. Když přemýšlíme o přeponě jako svahu, opálení úhlu svahu vám řekne vzestup svahu (tj. Vertikální změna) dělený během svahu (horizontální změna).
Opálení úhlu lze také definovat jako:
\ tan (θ) = \ frac {\ sin (θ)} {\ cos (θ)}
Co je Arctan?
Tečna úhlu vám technicky řekne, co funkce opálení vrátí, když ji použijete na konkrétní úhel, který máte na mysli. Funkce zvaná „arktan“ nebo opálení−1 obrátí funkci opálení a vrátí původní úhel, když jej použijete na opálení úhlu. Arcsin a arccos dělají totéž s funkcemi sin a cos.
Převod tečen na stupně
Převedení tečen na stupně vyžaduje použití funkce arctan na opálení úhlu, který vás zajímá. Následující výraz ukazuje, jak převést tečny na stupně:
\ text {Úhel ve stupních} = \ arctan (\ tan (θ))
Jednoduše řečeno, arktanová funkce obrátí účinek opalovací funkce. Takže pokud víte, že opálení (θ) = √3, pak:
\ begin {zarovnáno} \ text {Úhel ve stupních} & = \ arctan (\ sqrt {3}) \\ & = 60 ° \ end {zarovnáno}
Na kalkulačce stiskněte „opálení“−1”Tlačítko pro použití funkce arctan. Buď to uděláte před zadáním hodnoty, ze které chcete získat arktan, nebo po něm, v závislosti na konkrétním modelu kalkulačky.
Příklad problému: Směr jízdy lodi
Následující problém ilustruje užitečnost funkce opálení. Představte si někoho, kdo cestuje na lodi rychlostí 5 metrů za sekundu východně (od západu), ale cestuje proudem a tlačí loď směrem na sever rychlostí 2 metry za sekundu. Jaký úhel vytváří výsledný směr jízdy na východ?
Rozdělte problém na dvě části. Nejprve lze uvažovat, že cesta na východ tvoří sousední stranu trojúhelníku (o délce 5 metrů za sekundu), a proud pohybující se na sever lze považovat za opačnou stranu tohoto trojúhelníku (s délkou 2 metry na druhý). To dává smysl, protože konečný směr jízdy (což by byla hypotetická hypotéza trojúhelník) je výsledkem kombinace účinku pohybu směrem na východ a současného tlačení na sever. Fyzikální problémy často zahrnují vytváření takových trojúhelníků, takže k nalezení řešení lze použít jednoduché trigonometrické vztahy.
Od té doby:
\ tan (θ) = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {sousední}}
To znamená, že opálení úhlu konečného směru jízdy je:
\ begin {zarovnáno} \ tan (θ) & = \ frac {2 \ text {m / s}} {5 \ text {m / s}} \\ & = 0,4 \ end {zarovnáno}
Převeďte to na stupně pomocí stejného přístupu jako v předchozí části:
\ begin {zarovnáno} \ text {Úhel ve stupních} & = \ arctan (\ tan (θ)) \\ & = \ arctan (0,4) \\ & = 21,8 ° \ end {zarovnáno}
Loď tedy končí v plavbě ve směru 21,8 ° ven od vodorovné roviny. Jinými slovy, stále se pohybuje převážně směrem na východ, ale kvůli proudu také mírně putuje na sever.