Přemýšleli jste někdy nad tím, jak souvisejí trigonometrické funkce jako sinus a kosinus? Oba se používají k výpočtu stran a úhlů v trojúhelnících, ale vztah jde ještě dále.Kofunkční identitydejte nám konkrétní vzorce, které ukazují, jak převádět mezi sinusem a kosinusem, tangensem a kotangensem a secantem a kosekansem.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Sinus úhlu se rovná kosinu jeho komplementu a naopak. To platí i pro další funkce.
Snadný způsob, jak si zapamatovat, které funkce jsou kofunkce, jsou dvě spouštěcí funkcefunkcepokud má jeden z nich předponu „co-“. Tak:
- sine acosine jsoucofunkce.
- tečna acotečny jsoucofunkce.
- secant acosecant jsoucofunkce.
Můžeme vypočítat tam a zpět mezi kofunkcemi pomocí této definice: Hodnota funkce úhlu se rovná hodnotě kofunkce doplňku.
To zní komplikovaně, ale místo toho, abychom hovořili o hodnotě funkce obecně, pojďme použít konkrétní příklad. Thesinusúhlu se rovnákosinusjeho doplňku. Totéž platí pro další funkce: Tečna úhlu se rovná kotangensu jeho doplňku.
Pamatujte: Dva úhly jsoudoplňujepokud sečtou až 90 stupňů.
Identity spolupráce ve stupních:
(Všimněte si, že 90 ° -Xdává nám doplněk úhlu.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ postýlka (90 ° - x) \\ \ postýlka (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Kofunkční identity v radiánech
Pamatujte, že můžeme také psát věci ve smysluradiány, což je jednotka SI pro měření úhlů. Devadesát stupňů je stejné jako π / 2 radiány, takže můžeme také psát kofunkční identity takto:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Důkaz kofunkčních identit
To vše zní hezky, ale jak můžeme dokázat, že je to pravda? Pokud si to sami vyzkoušíte na několika příkladech trojúhelníků, můžete si tím být jisti, ale existuje i přísnější algebraický důkaz. Pojďme dokázat kofunkční identity pro sinus a kosinus. Budeme pracovat v radiánech, ale je to stejné jako při používání stupňů.
Důkaz:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Nejprve se vraťte k paměti k tomuto vzorci, protože ho použijeme v našem důkazu:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Mám to? OK. Nyní dokážeme: hřích (X) = cos (π / 2 - x).
Můžeme přepsat cos (π / 2 -X) takhle:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( X)
protože víme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {a} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tak
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Teď to dokážeme pomocí kosinu!
Důkaz:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Další výbuch z minulosti: Pamatujete si tento vzorec?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Chystáme se to použít. Nyní dokážeme:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Můžeme přepsat hřích (π / 2 -X) takhle:
\ begin {zarovnáno} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {zarovnáno}
protože víme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {a} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Takže máme
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Funkční kalkulačka
Vyzkoušejte několik příkladů práce s vlastními funkcemi. Pokud se ale zaseknete, Math Celebrity má kalkulačku funkcí, která ukazuje postupná řešení problémů při spolupráci.
Šťastný výpočet!