Kruhy jsou všude ve skutečném světě, a proto jsou jejich poloměry, průměry a obvod v aplikacích v reálném životě významné. Existují však i další části kruhů - například sektory a úhly - které mají také důležitost v každodenních aplikacích. Jako příklady lze uvést sektorové velikosti kruhových potravin, jako jsou koláče a koláče, úhel, který prochází ruské kolo, dimenzování pneumatiky na konkrétní vozidlo a zejména dimenzování prstence pro záběr nebo svatba. Z těchto a dalších důvodů má geometrie také rovnice a výpočty problémů, které se zabývají středovými úhly, oblouky a sektory kružnice.
Co je to centrální úhel?
Středový úhel je definován jako úhel vytvořený dvěma paprsky nebo poloměry vyzařujícími ze středu kruhu, přičemž střed kruhu je vrcholem středového úhlu. Středové úhly jsou zvláště důležité, pokud jde o rovnoměrné rozdělení pizzy nebo jakéhokoli jiného jídla na kruhovém základě mezi určitý počet lidí. Řekněme, že na večírku je pět lidí, kde mají být sdíleny velká pizza a velký dort. V jakém úhlu je třeba rozdělit pizzu a dort, aby byl zajištěn stejný plátek pro všechny? Jelikož v kruhu je 360 stupňů, výpočet se změní na 360 stupňů děleno 5, aby se dosáhlo 72 stupňů, takže každý plátek, ať už pizzy nebo koláče, bude mít středový úhel nebo theta (θ), měřící 72 stupňů.
Určení středového úhlu z délky oblouku
Oblouk kruhu označuje „část“ obvodu kruhu. Délka oblouku je tedy délkou této „části“. Pokud si představíte plátek pizzy, oblast sektoru může být vizualizováno jako celý plátek pizzy, ale délka oblouku je délka vnějšího okraje krusty konkrétní plátek. Z délky oblouku lze vypočítat středový úhel. Jeden vzorec, který může pomoci při určování středového úhlu, uvádí, že délka oblouku se rovná poloměru krát středového úhlu, nebo
s = r × θ
kde úhel, theta, musí být měřen v radiánech. Abychom tedy vyřešili středový úhel, theta, stačí vydělit délku oblouku pouze poloměrem, nebo
\ frac {s} {r} = θ
Pro ilustraci, pokud je délka oblouku 5,9 a poloměr je 3,5329, pak se centrální úhel změní na 1,67 radiánů. Dalším příkladem je, pokud je délka oblouku 2 a poloměr 2, střední úhel se stane 1 radiánem. Chcete-li převést radiány na stupně, nezapomeňte, že 1 radián se rovná 180 stupňům děleno π, neboli 57 2958 stupňů. Naopak, pokud rovnice požaduje převést stupně zpět na radiány, pak nejprve vynásobte π a poté vydělte o 180 stupňů.
Určení středového úhlu z oblasti sektoru
Další užitečný vzorec pro určení středového úhlu poskytuje oblast sektoru, kterou lze opět vizualizovat jako plátek pizzy. Tento konkrétní vzorec lze vidět dvěma způsoby. První má střední úhel měřený ve stupních, takže oblast sektoru se rovná π krát poloměr na druhou a poté vynásoben množstvím středového úhlu ve stupních děleno 360 stupňů. Jinými slovy:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {středový úhel ve stupních}} {360 \ text {stupně}} = \ text {oblast sektoru}
Pokud se středový úhel měří v radiánech, vzorec se místo toho stává:
\ text {sektorová oblast} = r ^ 2 × \ frac {\ text {středový úhel v radiánech}} {2}
Přeskupení vzorců pomůže vyřešit hodnotu středového úhlu neboli theta. Vezměme si sektorovou plochu 52,3 čtverečních centimetrů s poloměrem 10 centimetrů. Jaký by byl jeho centrální úhel ve stupních? Výpočty by začaly tím, že se sektorová plocha 52,3 centimetrů čtverečních rovná:
\ frac {θ} {360 \ text {stupně}} × πr ^ 2
Od poloměru (r) rovná se 10, celou rovnici lze napsat jako:
\ frac {52,3} {100π} × 360
takže theta lze zapsat jako:
\ frac {52,3} {314} × 360
Konečná odpověď se tak stává středovým úhlem 60 stupňů.