Představte si, že obsluhujete dělo a chcete rozbít zdi nepřátelského hradu, aby vaše armáda mohla zaútočit a získat vítězství. Pokud víte, jak rychle se míč pohybuje, když opouští dělo, a víte, jak daleko jsou stěny, jaký úhel spuštění potřebujete k vystřelení z děla, abyste úspěšně zasáhli stěny?
Toto je příklad problému s pohybem střely a tento a mnoho podobných problémů můžete vyřešit pomocí rovnic konstantního zrychlení kinematiky a některé základní algebry.
Pohyb střelyje to, jak fyzici popisují dvourozměrný pohyb, kde jediným zrychlením, které dotyčný objekt zažije, je konstantní zrychlení směrem dolů v důsledku gravitace.
Na zemském povrchu neustálé zrychlováníAje rovnýG= 9,8 m / s2a je objekt, který prochází pohybem střelyvolný páds tím jako jediným zdrojem zrychlení. Ve většině případů bude trvat cesta paraboly, takže pohyb bude mít horizontální i vertikální složku. Ačkoli by to mělo (omezený) účinek v reálném životě, naštěstí většina problémů s pohybem projektilů fyziky na střední škole ignoruje účinek odporu vzduchu.
Problémy s pohybem projektilu můžete vyřešit pomocí hodnotyGa některé další základní informace o aktuální situaci, například počáteční rychlost střely a směr, kterým se pohybuje. Naučit se řešit tyto problémy je nezbytné pro absolvování většiny úvodních kurzů fyziky a seznámí vás s nejdůležitějšími koncepty a technikami, které budete potřebovat i v dalších kurzech.
Rovnice pohybu střel
Rovnice pro pohyb střely jsou rovnice konstantního zrychlení z kinematiky, protože gravitační zrychlení je jediným zdrojem zrychlení, který musíte vzít v úvahu. Čtyři hlavní rovnice, které budete potřebovat k vyřešení jakéhokoli problému s pohybem střely, jsou:
v = v_0 + at \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Tady,protiznamená rychlost,proti0 je počáteční rychlost,Aje zrychlení (které se rovná zrychlení směrem dolů zGu všech problémů s pohybem projektilu),sje posunutí (z počáteční polohy) a jako vždy máte čas,t.
Tyto rovnice jsou technicky pouze pro jednu dimenzi a ve skutečnosti je lze reprezentovat vektorovými veličinami (včetně rychlosti)protipočáteční rychlostproti0 a tak dále), ale v praxi můžete tyto verze použít samostatně, jednou vX-směr a jednou vy-směr (a pokud jste někdy měli trojrozměrný problém, vz-směr také).
Je důležité si uvědomit, že tomu tak jepoužívá se pouze pro konstantní zrychlení, což je činí dokonalými pro popis situací, kde je jediný vliv gravitace zrychlení, ale nevhodné pro mnoho situací v reálném světě, kde je třeba použít další síly považováno.
V základních situacích je vše, co potřebujete k popisu pohybu objektu, ale v případě potřeby můžete zahrnout i jiné faktory, jako je výška, ze které byl projektil vystřelen, nebo je dokonce vyřešte pro nejvyšší bod střely na svém cesta.
Řešení problémů s pohybem střel
Nyní, když jste viděli čtyři verze vzorce pohybu střel, které budete muset použít vyřešit problémy, můžete začít přemýšlet o strategii, kterou používáte k řešení pohybu střely problém.
Základní přístup je rozdělit problém na dvě části: jednu pro horizontální pohyb a druhou pro vertikální pohyb. Odborně se tomu říká vodorovná složka a svislá složka a každá z nich má odpovídající sadu veličiny, jako je horizontální rychlost, vertikální rychlost, horizontální posunutí, vertikální posunutí a již brzy.
S tímto přístupem můžete použít kinematické rovnice, přičemž si všimněte toho časutje stejný pro horizontální i vertikální komponenty, ale věci jako počáteční rychlost budou mít různé komponenty pro počáteční vertikální rychlost a počáteční horizontální rychlost.
Rozhodující je pochopit, že pro dvourozměrný pohybžádnýúhel pohybu lze rozdělit na horizontální komponentu a vertikální komponentu, ale kdy uděláte to, bude existovat jedna horizontální verze dané rovnice a jedna vertikální verze.
Zanedbání účinků odporu vzduchu masivně zjednodušuje problémy s pohybem střel, protože vodorovný směr nikdy žádné nemá problém zrychlení při pohybu střely (volný pád), protože vliv gravitace působí pouze svisle (tj. směrem k povrchu Země).
To znamená, že složka horizontální rychlosti má pouze konstantní rychlost a pohyb se zastaví pouze tehdy, když gravitace přenese projektil na úroveň země. To lze použít k určení času letu, protože je zcela závislé nay-směrový pohyb a lze jej zcela vypočítat na základě svislého posunutí (tj. časutkdyž je vertikální posun nulový, říká vám čas letu).
Trigonometrie v problémech s pohybem projektilů
Pokud vám daný problém poskytuje úhel spuštění a počáteční rychlost, budete muset k vyhledání složek vodorovné a svislé rychlosti použít trigonometrii. Jakmile to uděláte, můžete problém vyřešit pomocí metod popsaných v předchozí části.
V podstatě vytvoříte pravoúhlý trojúhelník s přeponou nakloněnou pod úhlem spuštění (θ) a velikost rychlosti jako délka, a pak sousední strana je horizontální složkou rychlosti a opačná strana je vertikální rychlost.
Nakreslete pravoúhlý trojúhelník podle pokynů a uvidíte, že horizontální a vertikální komponenty najdete pomocí trigonometrických identit:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {sousední}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {naproti}} {\ text {hypotenuse}}
Mohou být tedy znovu uspořádány (a s opačným =protiy a sousední =protiX, tj. složka svislé rychlosti a složka vodorovné rychlosti, a přepona =proti0, počáteční rychlost) dát:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
To je vše z trigonometrie, kterou budete muset udělat pro řešení problémů s pohybem projektilu: zasunutí úhlu spuštění do rovnice pomocí funkcí sinus a kosinus na vaší kalkulačce a vynásobením výsledku počáteční rychlostí projektil.
Abychom prošli příkladem tohoto postupu, s počáteční rychlostí 20 m / s a úhlem spuštění 60 stupňů, jsou tyto komponenty:
\ begin {aligned} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17,32 \; \ text {m / s} \ end {zarovnáno}
Příklad problému s pohybem projektilu: Explodující ohňostroj
Představte si, že ohňostroj má pojistku navrženou tak, aby explodovala v nejvyšším bodě své dráhy, a je odpalován počáteční rychlostí 60 m / s pod úhlem 70 stupňů k horizontále.
Jak byste zjistili, jakou výškuhexploduje v? A jaký by byl čas od startu, když exploduje?
Jedná se o jeden z mnoha problémů, které zahrnují maximální výšku střely, a trik k jejich řešení spočívá v tom, že při maximální výšcey- složka rychlosti je 0 m / s za okamžik. Připojením této hodnoty kprotiy a výběrem nejvhodnější z kinematických rovnic můžete snadno vyřešit tento a jakýkoli podobný problém.
Nejprve při pohledu na kinematické rovnice vyskočí tato (s přidanými indexy, které ukazují, že pracujeme ve svislém směru):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Tato rovnice je ideální, protože zrychlení již znáte (Ay = -G), počáteční rychlost a úhel spuštění (abyste mohli vypočítat svislou složkuprotiy0). Protože hledáme hodnotusy (tj. výškah) kdyžprotiy = 0, můžeme dosadit nulu za finální složku vertikální rychlosti a znovu uspořádatsy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Protože má smysl volat směrem nahoruya od gravitačního zrychleníGsměřuje dolů (tj. v -ysměr), můžeme změnitAy pro -G. Nakonec volánísy výškah, můžeme psát:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Jediná věc, kterou je třeba vyřešit, aby se problém vyřešil, je vertikální složka počáteční rychlosti, kterou můžete provést pomocí trigonometrického přístupu z předchozí části. Takže s informacemi z otázky (60 m / s a 70 stupňů k horizontálnímu spuštění) to dává:
\ begin {aligned} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ text {m / s} \ end {zarovnaný}
Nyní můžete vyřešit maximální výšku:
\ begin {zarovnáno} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {zarovnáno}
Ohňostroj tedy exploduje zhruba 162 metrů od země.
Pokračování příkladu: čas letu a ujetá vzdálenost
Po vyřešení základů problému pohybu střely založeného čistě na vertikálním pohybu lze zbytek problému snadno vyřešit. Za prvé, čas od startu, kdy pojistka exploduje, lze zjistit pomocí jedné z dalších rovnic konstantního zrychlení. Při pohledu na možnosti, následující výraz:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
má čast, což je to, co chcete vědět; posunutí, které znáte pro maximální bod letu; počáteční vertikální rychlost; a rychlost v době maximální výšky (o které víme, že je nula). Na základě toho lze rovnici upravit tak, aby poskytovala výraz pro dobu letu:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Takže vkládání hodnot a řešení protdává:
\ begin {zarovnáno} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ text {m}} {56,38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {zarovnáno}
Ohňostroj tedy exploduje 5,75 sekundy po startu.
Nakonec můžete snadno určit vodorovnou ujetou vzdálenost na základě první rovnice, která (ve vodorovném směru) uvádí:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Je však třeba poznamenat, že v systému neexistuje žádná akceleraceX-směr, to je jednoduše:
v_x = v_ {0x}
To znamená, že rychlost vXsměr je stejný během celé cesty ohňostrojem. Vzhledem k tomuproti = d/t, kdedje ujetá vzdálenost, je to snadno vidětd = vt, a tak v tomto případě (ssX = d):
s_x = v_ {0x} t
Takže můžete vyměnitproti0x s trigonometrickým výrazem z předchozího zadejte hodnoty a vyřešte:
\ begin {aligned} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {zarovnáno}
Bude tedy cestovat asi 118 m před výbuchem.
Další problém s pohybem projektilu: Dud Firework
Pro další problém, na kterém je třeba pracovat, si představte ohňostroj z předchozího příkladu (počáteční rychlost 60 m / s spuštěna při 70 stupních k horizontále) nevybuchla na vrcholu své paraboly a místo toho přistála na zemi nevybuchlá. Dokážete v tomto případě vypočítat celkovou dobu letu? Jak daleko od místa startu v horizontálním směru přistane, nebo jinými slovy, co je torozsahprojektilu?
Tento problém funguje v podstatě stejným způsobem, kde jsou vertikální složky rychlosti a posunutí hlavní věci, které musíte vzít v úvahu při určování doby letu, a podle toho můžete určit rozsah. Místo toho, abyste řešení prošli podrobně, můžete to vyřešit sami na základě předchozího příkladu.
Existují vzorce pro rozsah střely, které můžete vyhledat nebo odvodit z rovnic konstantního zrychlení, ale není to tak opravdu potřeba, protože už znáte maximální výšku střely, a od tohoto okamžiku je to jen ve volném pádu pod účinkem gravitace.
To znamená, že můžete určit čas, který ohňostroj trvá, než spadne zpět na zem, a poté jej přidat k času letu do maximální výšky, abyste určili celkovou dobu letu. Od té doby je to stejný proces používání konstantní rychlosti ve vodorovném směru podél doby letu k určení rozsahu.
Ukažte, že doba letu je 11,5 sekundy a dosah je 236 m. Upozorňujeme, že budete muset vypočítat vertikální složku rychlosti v bodě, který dopadne na zem jako meziprodukt krok.