Gravitační potenciální energie: definice, vzorec, jednotky (s příklady)

Většina lidí ví o zachování energie. Stručně řečeno, říká se, že energie je zachována; není vytvořen a není zničen a jednoduše se mění z jedné formy do druhé.

Pokud tedy držíte míč úplně v klidu, dva metry nad zemí a poté jej uvolníte, odkud pochází energie, kterou získává? Jak může něco úplně ještě získat tolik kinetické energie, než dopadne na zem?

Odpověď je, že nehybná koule má formu uložené energie zvanégravitační potenciální energienebo zkráceně GPE. Jedná se o jednu z nejdůležitějších forem akumulované energie, se kterou se student střední školy ve fyzice setká.

GPE je forma mechanické energie způsobená výškou objektu nad povrchem Země (nebo jakýmkoli jiným zdrojem gravitačního pole). Jakýkoli objekt, který v takovém systému není v bodě s nejnižší energií, má nějakou gravitační potenciální energii, a pokud uvolněno (tj. ponecháno volně padat), bude zrychlovat směrem ke středu gravitačního pole, dokud něco nebude zastaví to.

I když je proces hledání gravitační potenciální energie objektu docela dobrý matematicky jednoduché, tento koncept je mimořádně užitečný, pokud jde o výpočet jiná množství. Například učení o konceptu GPE opravdu usnadňuje výpočet kinetické energie a konečné rychlosti padajícího objektu.

GPE závisí na dvou klíčových faktorech: poloze objektu vzhledem k gravitačnímu poli a hmotnosti objektu. Těžiště těla tvořícího gravitační pole (na Zemi střed planety) je bod s nejnižší energií v poli (i když v praxi skutečné tělo zastaví padání před tímto bodem, jak to dělá zemský povrch) a čím dále od tohoto bodu je předmět, tím více akumulované energie má díky svému pozice. Množství uložené energie se také zvyšuje, pokud je objekt masivnější.

Základní definici gravitační potenciální energie můžete pochopit, když přemýšlíte o knize spočívající na polici. Kniha má potenciál spadnout na podlahu kvůli své vyvýšené poloze vzhledem k zemi, ale té, která začíná venku na podlaze nemůže spadnout, protože už je na povrchu: Kniha na polici má GPE, ale ta na zemi ne.

Intuice vám také řekne, že kniha, která je dvakrát tak silná, způsobí při dopadu na zem dvakrát tak velký úder; je to proto, že hmotnost objektu je přímo úměrná množství gravitační potenciální energie objektu.

Vzorec gravitační potenciální energie (GPE) je opravdu jednoduchý a souvisí s hmotoumgravitační zrychlení na ZemiG) a výška nad zemským povrchemhna uloženou energii v důsledku gravitace:

Jak je ve fyzice běžné, existuje mnoho různých různých symbolů gravitační potenciální energie, včetněU​_G, ​PE​_grav a další. GPE je míra energie, takže výsledkem tohoto výpočtu bude hodnota v joulech (J).

Zrychlení způsobené gravitací Země má (zhruba) konstantní hodnotu kdekoli na povrchu a směřuje přímo do těžiště planety: g = 9,81 m / s². Vzhledem k této konstantní hodnotě potřebujete k výpočtu GPE pouze hmotnost objektu a výšku objektu nad povrchem.

Co tedy děláte, pokud potřebujete vypočítat, kolik gravitační potenciální energie má objekt? V podstatě můžete jednoduše definovat výšku objektu na základě jednoduchého referenčního bodu (země obvykle funguje dobře) a vynásobit to jeho hmotouma pozemská gravitační konstantaGnajít GPE.

Představte si například hmotnost 10 kg zavěšenou kladkovým systémem ve výšce 5 metrů nad zemí. Kolik gravitační potenciální energie má?

Použití rovnice a dosazení známých hodnot dává:

Pokud jste však při čtení tohoto článku přemýšleli o tomto konceptu, možná jste uvažovali o zajímavé otázce: Pokud gravitační potenciál energie objektu na Zemi je skutečně nulová, pouze pokud je ve středu hmoty (tj. uvnitř zemského jádra), proč ji počítáte, jako by povrch Země jeh​ = 0?

Pravdou je, že volba „nulového“ bodu pro výšku je libovolná a obvykle se to dělá kvůli zjednodušení daného problému. Kdykoli vypočítáte GPE, opravdu vás více zajímá gravitační potenciální energieZměnyspíše než jakýkoli druh absolutní míry akumulované energie.

V zásadě nezáleží na tom, zda se rozhodnete zavolat stolnímu počítačih= 0 spíše než povrch Země, protože jste vždyvlastněhovoří o změnách potenciální energie souvisejících se změnami výšky.

Zvažte tedy někoho, kdo zvedne učebnici fyziky o hmotnosti 1,5 kg z povrchu stolu a zvedne ji 50 cm (tj. 0,5 m) nad povrch. Co je změna gravitační potenciální energie (označeno ∆GPE) pro knihu, jak je zrušena?

Trik je samozřejmě nazývat stůl referenčním bodem s výškouh= 0, nebo ekvivalentně, vzít v úvahu změnu výšky (∆h) z výchozí polohy. V obou případech získáte:

Přesná hodnota gravitačního zrychleníGv rovnici GPE má velký dopad na gravitační potenciální energii objektu vztyčeného v určité vzdálenosti nad zdrojem gravitačního pole. Například na povrchu Marsu hodnotaGje asi třikrát menší než na povrchu Země, takže pokud stejný objekt zvednete stejně vzdálenost od povrchu Marsu by měla asi třikrát méně uložené energie, než by měla Země.

Podobně, i když můžete přiblížit hodnotuGjako 9,81 m / s² napříč zemským povrchem na hladině moře, je ve skutečnosti menší, pokud se vzdálíte od povrchu v dostatečné vzdálenosti. Například pokud jste byli na hoře Everest, který se tyčí 8 848 m (8 848 km) nad zemským povrchem a je tak daleko od těžiště planety, by snížil hodnotuGtrochu, takže byste měliG= 9,79 m / s² na vrcholu.

Pokud byste úspěšně vystoupali na horu a zvedli 2-kilogramovou hmotu 2 m od vrcholu hory do vzduchu, jaká by byla změna v GPE?

Stejně jako výpočet GPE na jiné planetě s jinou hodnotouG, jednoduše zadáte hodnotu proGkterý vyhovuje situaci a projde stejným procesem jako výše:

Na úrovni moře na Zemi, sG= 9,81 m / s², zvedání stejné hmotnosti by změnilo GPE tím, že:

To není velký rozdíl, ale jasně ukazuje, že nadmořská výška ovlivňuje změnu GPE, když provádíte stejný zdvihací pohyb. A na povrchu Marsu, kdeG= 3,75 m / s² bylo by:

Jak vidíte, hodnotaGje velmi důležité pro výsledek, který získáte. Provádění stejného zvedacího pohybu v hlubokém vesmíru, daleko od jakéhokoli vlivu gravitační síly, by v podstatě nedošlo ke změně gravitační potenciální energie.

Úsporu energie lze pro zjednodušení použít společně s konceptem GPEmnohovýpočty ve fyzice. Stručně řečeno, pod vlivem „konzervativní“ síly je zachována celková energie (včetně kinetické energie, gravitační potenciální energie a všech ostatních forem energie).

Konzervativní síla je síla, při které množství práce vynaložené proti síle k pohybu objektu mezi dvěma body nezávisí na zvolené cestě. Gravitace je tedy konzervativní, protože zvedání objektu z referenčního bodu do výškyhmění gravitační potenciální energii omgh, ale nezáleží na tom, zda s ním pohybujete po dráze ve tvaru písmene S nebo po přímce - vždy se to změní jen omgh​.

Nyní si představte situaci, kdy z výšky 15 metrů padáte koule o hmotnosti 500 g (0,5 kg). Ignorujeme-li účinek odporu vzduchu a předpokládáme, že se během jeho pádu neotáčí, kolik kinetické energie bude mít míč v okamžiku, kdy se dotkne země?

Klíčem k tomuto problému je skutečnost, že je zachována celková energie, takže veškerá kinetická energie pochází z GPE, a tak kinetická energieE​_k při jeho maximální hodnotě se musí rovnat GPE při jeho maximální hodnotě, neboGPE​ = ​E​_k. Problém tedy můžete snadno vyřešit:

Úspora energie zjednodušuje mnoho dalších výpočtů zahrnujících také gravitační potenciální energii. Přemýšlejte o kouli z předchozího příkladu: nyní, když znáte celkovou kinetickou energii na základě její gravitace potenciální energie v nejvyšším bodě, jaká je konečná rychlost míče v okamžiku před dopadem na Zemi povrch? Můžete to vyřešit na základě standardní rovnice pro kinetickou energii:

S hodnotouE​_k známo, můžete znovu uspořádat rovnici a vyřešit rychlostproti​:

Můžete však použít zachování energie k odvození rovnice, která platížádnýpadající předmět, nejdříve si povšimněte, že v takových situacích,GPE​ = ∆​E​_k, a tak:

Ruší semz obou stran a nové uspořádání dává:

Tato rovnice ukazuje, že bez ohledu na odpor vzduchu hmotnost neovlivňuje konečnou rychlostproti, takže pokud upustíte jakékoli dva objekty ze stejné výšky, dopadnou na zem přesně ve stejnou dobu a spadnou stejnou rychlostí. Můžete také zkontrolovat výsledek získaný pomocí jednodušší dvoustupňové metody a ukázat, že tato nová rovnice skutečně produkuje stejný výsledek se správnými jednotkami.

Nakonec vám předchozí rovnice také dává způsob výpočtuGna jiných planetách. Představte si, že jste shodili 0,5 kg míč z 10 m nad povrchem Marsu a zaznamenali konečnou rychlost (těsně před dopadem na povrch) 8,66 m / s. Jaká je hodnotaGna Marsu?

Počínaje dřívější fází nového uspořádání:

Vidíš to:

Úspora energie v kombinaci s rovnicemi pro gravitační potenciální energii a kinetickou energii existujemnohovyužití, a když si zvyknete na využívání vztahů, budete schopni snadno vyřešit širokou škálu problémů klasické fyziky.