"Синус" е стенография по математика за съотношението на двете страни на правоъгълен триъгълник, изразена като дроб: Страната, противоположна какъвто и ъгъл да измервате, е числителят на фракцията, а хипотенузата на правоъгълния триъгълник е знаменател. След като овладеете тази концепция, тя се превръща в градивен елемент за формула, известна като закон на синусите, която може да се използва за намиране липсващи ъгли и страни за триъгълник, стига да знаете поне два от ъглите му и едната страна, или две страни и една ъгъл.
Обобщение на Закона за синусите
Законът за синусите ви казва, че съотношението на ъгъл в триъгълник към страната срещу него ще бъде еднакво и за трите ъгъла на триъгълника. Или, казано по друг начин:
грях (A) /а = грях (B) /б = грях (C) /° С, където A, B и C са ъглите на триъгълника, и а, б и ° С са дължините на страните, противоположни на тези ъгли.
Тази форма е най-полезна за намиране на липсващи ъгли. Ако използвате закона на синусите, за да намерите липсващата дължина на страна на триъгълника, можете също да го напишете със синусите в знаменателя:
а/ грях (A) = б/ грях (B) = ° С/sin(C)
Намиране на липсващ ъгъл със закона на синусите
Представете си, че имате триъгълник с един известен ъгъл - да кажем, че ъгъл А е с 30 градуса. Знаете и мярката на двете страни на триъгълника: страна а, който е противоположен на ъгъл А, измерва 4 единици и страна б измерва 6 единици.
Пазете се от двусмисления случай на закона на синусите, който може да възникне, ако сте, както в този проблем, като се има предвид дължината на двете страни и ъгъл, който не е между тях. Двусмисленият случай е просто предупреждение, че при този специфичен набор от обстоятелства може да има два възможни отговора, от които да избирате. Вече сте намерили един възможен отговор. За да анализирате друг възможен отговор, извадете току-що открития ъгъл от 180 градуса. Добавете резултата към първия известен ъгъл, който сте имали. Ако резултатът е по-малък от 180 градуса, този "резултат", който току-що сте добавили към първия известен ъгъл, е второ възможно решение.
Въведете цялата известна информация в първата форма на закона на синусите, която е най-подходяща за намиране на липсващи ъгли:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6 = sin (C) /° С
След това изберете цел; в този случай намерете мярката на ъгъл B.
Поставянето на проблема е толкова просто, колкото задаването на първия и втория израз на това уравнение равни по между си. Няма нужда да се притеснявате за третия мандат в момента. И така, имате:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6
Използвайте калкулатор или диаграма, за да намерите синуса на известния ъгъл. В този случай sin (30) = 0,5, така че имате:
(0,5) / 4 = sin (B) / 6, което опростява до:
0,125 = грех (В) / 6
Умножете всяка страна на уравнението по 6, за да изолирате измерването на синуса на неизвестния ъгъл. Това ви дава:
0,75 = грях (B)
Намерете обратния синус или арксинус на неизвестния ъгъл, като използвате вашия калкулатор или таблица. В този случай обратният синус от 0,75 е приблизително 48,6 градуса.
Предупреждения
Намиране на страна със закона на синусите
Представете си, че имате триъгълник с известни ъгли 15 и 30 градуса (нека ги наречем съответно A и B) и дължината на страната а, който е противоположен на ъгъл A, е дълъг 3 единици.
Както вече споменахме, трите ъгъла на триъгълника винаги се събират до 180 градуса. Така че, ако вече знаете два ъгъла, можете да намерите мярката на третия ъгъл, като извадите известните ъгли от 180:
180 - 15 - 30 = 135 градуса
Така липсващият ъгъл е 135 градуса.
Попълнете информацията, която вече знаете, във формулата на закона на синусите, като използвате втората форма (която е най-лесна при изчисляване на липсваща страна):
3 / грях (15) = б/ грях (30) = ° С/sin(135)
Изберете коя липсваща страна искате да намерите дължината. В този случай, за удобство, намерете дължината на страната б.
За да зададете проблема, ще изберете две от синусоидалните отношения, дадени в закона за синусите: Тази, съдържаща вашата цел (страна б) и този, за когото вече знаете цялата информация (от тази страна а и ъгъл А). Задайте тези две синусоидални отношения еднакви помежду си:
3 / грях (15) = б/sin(30)
Сега решете за б. Започнете с помощта на вашия калкулатор или таблица, за да намерите стойностите на sin (15) и sin (30) и ги попълнете във вашето уравнение (в името на този пример използвайте фракцията 1/2 вместо 0,5), което дава Вие:
3/0.2588 = б/(1/2)
Обърнете внимание, че вашият учител ще ви каже колко далеч (и дали) да закръглявате вашите синусоидни стойности. Те може също да поискат да използвате точната стойност на синусоидната функция, която в случай на грях (15) е много разхвърляна (√6 - √2) / 4.
След това опростете двете страни на уравнението, като си спомните, че разделянето на дроб е същото като умножаването по неговата обратна:
11.5920 = 2_b_
За удобство превключете страните на уравнението, тъй като променливите обикновено са изброени вляво:
2_b_ = 11,5920
И накрая, завършете решаването за б. В този случай всичко, което трябва да направите, е да разделите двете страни на уравнението на 2, което ви дава:
б = 5.7960
Така че липсващата страна на вашия триъгълник е дълга 5.7960 единици. Можете също толкова лесно да използвате същата процедура, за да решите за страна ° С, определяйки своя срок в закона на синусите, равен на термина за страна а, тъй като вече знаете пълната информация от тази страна.