След като започнете да решавате алгебрични уравнения, които включват полиноми, способността да разпознавате специални, лесно факторизирани форми на полиноми става много полезна. Един от най-полезните за забелязване полиноми с "лесен фактор" е перфектният квадрат или триномът, който е резултат от квадратирането на бином. След като сте идентифицирали перфектен квадрат, факторирането му в отделните му компоненти често е жизненоважна част от процеса на решаване на проблеми.
Преди да можете да факторизирате перфектен триъгълник с квадрат, трябва да се научите да го разпознавате. Перфектният квадрат може да приеме една от двете форми
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, което е произведение на} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, което е произведението на} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Проверете първия и третия член на тринома. И двамата ли са квадратчета? Ако отговорът е да, разберете от какво са квадратите. Например, във втория пример от „реалния свят“, даден по-горе:
y ^ 2 - 2y + 1
терминау2 очевидно е квадратът нау.Терминът 1 е, може би по-малко очевидно, квадратът на 1, защото 12 = 1.
Умножете корените на първия и третия член заедно. За да продължим примера, това еуи 1, което ви давау × 1 = 1уили простоу.
След това умножете продукта си по 2. Продължавайки примера, имате 2у.
И накрая, сравнете резултата от последната стъпка със средния член на полинома. Съвпадат ли? В полиномау2 – 2у+1, те го правят. (Знакът е без значение; също би било съвпадение, ако средният срок е +2у.)
Тъй като отговорът в стъпка 1 беше „да“ и резултатът ви от стъпка 2 съвпада със средния член на полинома, вие знаете, че гледате перфектен триъгъл на квадрат.
След като разберете, че гледате перфектен квадратен трином, процесът на факторирането му е съвсем ясен.
Идентифицирайте корените или числата на квадрат в първия и третия член на тринома. Помислете за друг от вашите примерни триноми, за които вече знаете, че е перфектен квадрат:
x ^ 2 + 8x + 16
Очевидно е, че броят на квадрат в първия член ех. Числото, което се извежда на квадрат през третия член, е 4, защото 42 = 16.
Помислете за формулите за перфектни квадратни триноми. Знаете, че вашите фактори ще имат или формата (а + б)(а + б) или формата (а – б)(а – б), къдетоаибса числата на квадрат в първия и третия член. Така че можете да запишете факторите си по този начин, като засега пропускате знаците в средата на всеки термин:
(a \,? \, б) (а \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
За да продължите примера, като замените корените на текущия си трином, имате:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Проверете средния член на тринома. Има ли положителен или отрицателен знак (или, казано по друг начин, добавя ли се или се изважда)? Ако има положителен знак (или се добавя), тогава и двата фактора на тринома имат знак плюс в средата. Ако има отрицателен знак (или се изважда), и двата фактора имат отрицателен знак в средата.
Средният член на настоящия примерен трином е 8х- положително е - така че сега сте разделили идеалния триъгълник на квадрат:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Проверете работата си, като умножите двата фактора заедно. Прилагането на FOIL или първия, външния, вътрешния, последния метод ви дава:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Опростяването на това дава резултатх2 + 8х+ 16, което съответства на вашия трином. Така че факторите са верни.