Концепцията засобствени стойностие неясно, но е много полезно за математици и физици, изправени пред някои интересни проблеми.
За да разберете собствена стойност, представете си, че имате функция (напр.у = х2 + 6х, илиу= дневник 4х), който бихте могли да извършите чрез някакъв процес, така че резултатът да бъде същият като умножаване на цялата функция с постоянна стойност. Такава функция би се квалифицирала катособствена функция, а константата би била собствена стойност.
- „Eigen“ е немски за „същото“.
За да разберете най-добре собствените стойности и собствените функции и да можете сами да изчислявате собствените стойности, имате нужда от основно разбиране на матриците. Тези математически трикове се използват, за да се определи, да речем, връзката на NO2 (азотен диоксид) и други молекули, тъй като поведението на електроните в атомите се определя от вълновите функции, които се квалифицират като собствени функции.
Какво е матрица?
Матрицата е масив от числа, подредени в редове и колони, които могат да номерират от 1 до
н. Размерите на матриците са дадени като ред по колона; например, следното е матрица 2 на 3:\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Матриците могат да се добавят заедно, ако са с еднакъв размер (т.е. имат еднакъв брой редове и еднакъв брой колони). Те също могат да бъдат умножени заедно чрез поетапен процес при същите условия. В допълнение, всяка матрица може да бъде умножена по вектор, който е 1 понилин-по-1 матрица; това включва други вектори.
Какво е уравнение за собствена стойност?
Кажете, че иматен-от-нили "квадратна" матрицаA, ненулевон-по-1 векторv, и скаларλ, така че да е изпълнено следното уравнение:
\ получер {Av} = λ \ получер {v}
Всяка стойност наλза което това уравнение има решение е известно като собствена стойност на матрицатаA.
Не позволявайте на ума да третира горните изрази като продукт.Aеоператорвърху или линейна трансформация на вектораv, това изчисление е възможно само защотоAиvи двете иматнредове.
Защо да използвам функции на собствена стойност?
Деривацията е сложна, но в атомната химия хамилтоновият оператор "H-bar" се използва за изразяване на кинетичната и потенциалната енергия на системата:
\ шапка H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ шапка V (x, y, z)
Това се използва за писане на форма наУравнение на вълновата функция на Шрьодингерв квантовата механика:
\ шапка Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
ТукЕ.представлява собствените стойности, отговарящи на това уравнение.
Начини за намиране на собствените стойности на матрица
От уравнението Av = λv получаватеA v − λv=0. Това води до:
\ получер {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
КъдетоАзе матрицата за идентичност 2 по 2 с редове от [λ0] и [0λ], което води до 1, когато се умножи по скалараλ. Този резултат дава:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Което акоvе ненулева, има решение само ако абсолютната стойност наA− λАз, или |A − λАз, е нула. Ако правите това на ръка, това включва решаване на квадратно уравнение и може да бъде досадно.
За да умножите две матрици заедно, за всяка точка в продуктовата матрица умножавате съответните точки заедно и добавете това към продуктите на останалите елементи от редове и колони в реда и колоната, към които е новата точка принадлежи.
При умножаване на две матрици 2 по 2AиБ.заедно, ако първият ред наAе [1 3] и първата колона наБ.е [2 5], числото в първата колона и ред на новата матрица ще бъде [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 и съответно за останалите три точки.
Изчислете собствени стойности онлайн
В Ресурсите ще намерите инструмент за изчисляване на матрица, който ви позволява да намерите собствени стойности и други за матрица с почти всеки възможен размер.