Корените на многочлен също се наричат негови нули, тъй като корените сахстойности, при които функцията е равна на нула. Що се отнася до действителното намиране на корените, имате на разположение множество техники; факторингът е методът, който ще използвате най-често, въпреки че графичването също може да бъде полезно.
Колко корени?
Изследвайте члена на най-високата степен на полинома - т.е. термина с най-висок степен. Този експонент е колко корени ще има полиномът. Така че, ако най-високият показател във вашия полином е 2, той ще има два корена; ако най-високият показател е 3, той ще има три корена; и така нататък.
Предупреждения
-
Има уловка: Корените на многочлен могат да бъдат реални или въображаеми. „Истински“ корени са членове на множеството, известно като реални числа, което в този момент от вашата математическа кариера е всяко число, с което сте свикнали да се справяте. Овладяването на въображаеми числа е съвсем различна тема, така че засега просто запомнете три неща:
- "Въображаеми" корени се появяват, когато имате квадратния корен от отрицателно число. Например √ (-9).
- Въображаемите корени винаги идват по двойки.
- Корените на многочлен могат да бъдат реални или въображаеми. Така че, ако имате полином от 5-та степен, той може да има пет истински корена, може да има три истински корена и два въображаеми корена и т.н.
Намерете корени чрез факторинг: Пример 1
Най-универсалният начин за намиране на корени е факторирането на вашия полином колкото е възможно повече и след това задаването на всеки член равен на нула. Това има много повече смисъл, след като проследите няколко примера. Помислете за простия полиномх2 – 4х:
Кратък преглед показва, че можете да факториратехот двата члена на полинома, който ви дава:
x (x - 4)
Задайте нула на всеки член. Това означава решаване на две уравнения:
x = 0
е първият член, зададен на нула, и
x - 4 = 0
е вторият член, зададен на нула.
Вече имате решението за първия срок. Акох= 0, тогава целият израз е равен на нула. Таках= 0 е един от корените или нулите на полинома.
Сега, помислете за втория член и решете зах. Ако добавите 4 към двете страни, ще имате:
x - 4 + 4 = 0 + 4
което опростява до:
x = 4
Така че, акох= 4, тогава вторият фактор е равен на нула, което означава, че целият полином също е равен на нула.
Тъй като оригиналният полином е от втора степен (най-високият показател е два), знаете, че има само два възможни корена за този полином. Вече сте ги намерили и двете, така че всичко, което трябва да направите, е да ги изброите:
x = 0, x = 4
Намерете корени чрез факторинг: Пример 2
Ето още един пример за това как да намерите корени чрез факториране, като използвате някаква фантастична алгебра по пътя. Помислете за полиномах4 – 16. Бърз преглед на експонентите му показва, че за този полином трябва да има четири корена; сега е време да ги намерим.
Забелязахте ли, че този полином може да бъде пренаписан като разлика в квадратите? Така че вместох4 - 16, имате:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Която, използвайки формулата за разликата в квадратите, се разчита на следното:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Първият член отново е разлика в квадратите. Така че, въпреки че не можете да разлагате термина отдясно повече, можете да разчитате термина отляво още една стъпка:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Сега е време да намерим нулите. Бързо става ясно, че акох= 2, първият фактор ще бъде равен на нула и по този начин целият израз ще бъде равен на нула.
По същия начин, акох= -2, вторият фактор ще бъде равен на нула и по този начин целият израз.
Таках= 2 их= -2 са и двете нули или корени на този полином.
Но какво ще кажете за последния мандат? Тъй като има степен "2", трябва да има два корена. Но не можете да разберете този израз, като използвате реалните числа, с които сте свикнали. Ще трябва да използвате много напреднала математическа концепция, наречена въображаеми числа или, ако предпочитате, комплексни числа. Това е далеч извън обхвата на текущата ви математическа практика, така че засега е достатъчно да се отбележи, че имате два истински корена (2 и -2) и два въображаеми корена, които ще оставите недефинирани.
Намерете корени чрез графики
Можете също така да намерите или поне да изчислите корени чрез графики. Всеки корен представлява място, където графиката на функцията пресичахос. Така че, ако изчертаете линията и след това отбележитехкоординати, където линията пресичахос, можете да вмъкнете приблизителнатахстойностите на тези точки във вашето уравнение и проверете дали сте ги получили правилно.
Помислете за първия полином, който сте работилих2 – 4х. Ако го нарисувате внимателно, ще видите, че линията пресичахос прих= 0 их= 4. Ако въведете всяка от тези стойности в оригиналното уравнение, ще получите:
0^2 - 4(0) = 0
таках= 0 беше валидна нула или корен за този полином.
4^2 - 4(4) = 0
таках= 4 също е валидна нула или корен за този полином. И тъй като полиномът е бил от степен 2, знаете, че можете да спрете да търсите след намирането на два корена.