Как да намерим производни

Една от важните операции, които правите в смятането, е намирането на производни. Производната на функция се нарича още скорост на промяна на тази функция. Например, ако x (t) е позицията на автомобил по всяко време t, тогава производното на x, което се записва dx / dt, е скоростта на автомобила. Също така производната може да се визуализира като наклон на права, допирателна към графиката на функция. На теоретично ниво математиците така намират производни. На практика математиците използват набори от основни правила и справочни таблици.

Наклонът на линия между две точки е нарастването или разликата в y стойностите, разделена на пробега, или разлика в x стойностите. Наклонът на функция y (x) за определена стойност на x се определя като наклон на права, която е допирателна към функцията в точката [x, y (x)]. За да изчислите наклона, конструирате линия между точката [x, y (x)] и близката точка [x + h, y (x + h)], където h е много малко число. За този ред изпълнението или промяната в стойността на х е h, а нарастването или промяната в стойността на y е y (x + h) - y (x). Следователно наклонът на y (x) в точката [x, y (x)] е приблизително равен на [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. За да получите точно наклона, изчислявате стойността на наклона, когато h става все по-малък и по-малък, до „границата“, където той отива до нула. Изчисленият по този начин наклон е производното на y (x), което се записва като y ’(x) или dy / dx.

Можете да използвате метода на наклон / лимит, за да изчислите производни на функции, където y е равно на x на степента на a, или y (x) = x ^ a. Например, ако y е равно на x куб, y (x) = x ^ 3, тогава dy / dx е границата, тъй като h отива до нула от [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Разширяването (x + h) ^ 3 дава [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, което намалява до 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2, след като разделите от h. В ограничението, когато h отива до нула, всички членове, които имат h в себе си, също отиват до нула. И така, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Можете да направите това за стойности, различни от 3, и като цяло можете да покажете, че d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Много функции могат да бъдат записани като това, което се нарича степенна степен, която е сбор от безкраен брой членове, където всеки е от формата C (n) x ^ n, където x е променлива, n е цяло число и C (n) е конкретно число за всяка стойност на н. Например степенният ред за синусоидната функция е Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., където „...“ означава термини, продължаващи на до безкрайност. Ако знаете степенния ред за функция, можете да използвате производната на степента x ^ n, за да изчислите производната на функцията. Например производната на Sin (x) е равна на 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., което се случва да бъде степенната серия за Cos (x).

Производните на основни функции като степени като x ^ a, експоненциални функции, логарифмични функции и триъгълни функции се намират с помощта на метода на наклон / лимит, метода на степенните редове или други методи. След това тези производни са изброени в таблици. Например можете да потърсите, че производното на Sin (x) е Cos (x). Когато сложните функции са комбинации от основните функции, имате нужда от специални правила като правило на веригата и правило на продукта, които също са дадени в таблиците. Например използвате правилото на веригата, за да откриете, че производната на Sin (x ^ 2) е 2xCos (x ^ 2). Използвате правилото за продукт, за да установите, че производното на xSin (x) е xCos (x) + Sin (x). Използвайки таблици и прости правила, можете да намерите производната на всяка функция. Но когато дадена функция е изключително сложна, учените понякога прибягват до компютърни програми за помощ.