Нормална крива е името на графиката на стандартно нормално разпределение на вероятностите, за което говорят хората (често несъзнателно), когато споменават някаква „камбанна крива“, показваща къде стоят хората или други променливи спрямо някаква средна или средна популация.
Стандартната нормална крива осигурява както визуално, така и числово представяне на това как дадена променлива се разпределя в популация, когато ситуацията в реалния живот, представена от функцията, има симетрично разпределение в популацията от интерес (оттук и "камбаната" форма). Това може да включва коефициент на интелигентност или височина при мъжете, който е толкова вероятно да варира спрямо едната страна на средната стойност, колкото и към другата, и също така е вероятно да варира със същата величина.
Всички нормални криви и свързаните с тях данни имат определени общи атрибути, които позволяват генерирането от числови таблици, които позволяват решаването на стойности на площ вместо по-сложни математически изчисления.
Стандартното нормално разпределение
При всяко нормално разпределение, по дефиниция, малко под 68 процента от точките с данни попадат в рамките на едно стандартно отклонение на средната стойност на популацията или популационната извадка. Около 95 процента са в рамките на две стандартни отклонения, а 99,9 процента са в рамките на три стандартни отклонения.
На всеки знак за стандартно отклонение се присвоява цяло число около средната стойност (напр. -3, -2, 1, 1, 2, 3) и се присвоява променлива z. Тази стойност или z-резултат може да приеме и нецели стойности (напр. -2,58).
Z-резултатите се използват за определяне на вероятността от събитие да се случи в рамките на определен диапазон от възможности. Например, ако ви кажат, че средното и стандартното отклонение за IQ (коефициент на интелигентност) са 100 и 20 точки, което прави z = 0 за IQ = 100 и z = 1,0 за IQ = 120 и се иска да дадете вероятността случайно избран човек да има IQ 140 или по-висок, вие използвате z-таблица, за да стигнете до решение.
Площта под нормалната крива
В повечето случаи в математиката площта под кривата на графиката на уравнение се намира чрез манипулиране уникалните елементи на това уравнение директно, като например чрез интегриране на кривата между х-координатите на лихва. С нормалната крива вместо това търсите едно или две числа в таблица, наречена z-стойности, и ако е необходимо, изпълнявате стъпка на изваждане.
На площта под цялата нормална крива, независимо от точната й форма, се присвоява стойността 1.0. Всички частични площи под нормалната крива по този начин са десетични числа между 0 и 1 и могат лесно да бъдат преобразувани в проценти, като ги умножим по 100.
Z-таблиците позволяват отчитане до стотото място на резултата, за да се дадат области с четири или пет значими цифри. Това се прави, като се получава десетото място от лявата ос и след това се чете през съответния ред, за да се получи стото място.
- Това обяснява защо делът на площта вляво от z = -2,58 е .00494.
Нормално разпределение: Област между две точки
Да предположим, че в тест със средна стойност 80 и стандартно отклонение 10 искате да знаете какъв процент от учениците са имали оценки между 65 и 85.
Ще започнете с намирането на горен и долен z-резултат. Това се прави чрез изваждане на средната стойност от горната ви граница и разделяне на стандартното отклонение: (85 - 80) / 10 = 0,50. След това намирате долната граница по същия начин: (65 - 80) / 10 -1.50.
Сега можете да присвоите стойности на площта на тези z-резултати, като се обърнете към таблицата. Тези стойности са 0,68916 за z = 0,5 и 0,06681 за z = 1,5. Всяка от тези области представлява площта под кривата от лявата "опашка" до въпросната стойност x, така че за площта между двете точки x = 65 и x = 85, изваждате по-малката стойност от по-голямата, за да получите 0.63135.
По този начин може да се очаква 63,1% от резултатите да попаднат в диапазона от 65 до 85 при стандартно отклонение 10 при нормално разпределение.
