Трикове за факторизиране на квадратни уравнения

Квадратичните уравнения са формули, които могат да бъдат записани под формата Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Понякога квадратното уравнение може да бъде опростено чрез факторинг или изразяване на уравнението като продукт на отделни термини. Това може да направи уравнението по-лесно за решаване. Понякога факторите могат да бъдат трудни за идентифициране, но има трикове, които могат да улеснят процеса.

Проучете квадратното уравнение, за да определите дали има число и / или променлива, които могат да разделят всеки член на уравнението. Например, помислете за уравнението 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Най-големият брой, който може да се раздели равномерно във всеки член на уравнението, е 2, така че 2 е най-големият общ фактор (GCF).

Разделете всеки член в уравнението на GCF и умножете цялото уравнение по GCF. В примерното уравнение 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, това би довело до 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Опростете израза, като завършите разделението във всеки член. В крайното уравнение не трябва да има дроби. В примера това би довело до 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Разгледайте квадратното уравнение, за да видите дали е във формата Ax ^ 2 + 0x - C = 0, където A = y ^ 2 и C = z ^ 2. Ако случаят е такъв, квадратното уравнение изразява разликата от два квадрата. Например, в уравнението 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 и C = 9 = 3 ^ 2, така че y = 2 и z = 3.

Факторирайте уравнението във формата (yx + z) (yx - z) = 0. В примерното уравнение y = 2 и z = 3; следователно факторизираното квадратно уравнение е (2x + 3) (2x - 3) = 0. Това винаги ще бъде факторизираната форма на квадратно уравнение, което е разликата на квадратите.

Разгледайте квадратното уравнение, за да видите дали е перфектен квадрат. Ако квадратното уравнение е перфектен квадрат, то може да бъде записано под формата y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, като уравнението 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, което може да бъде пренаписано като (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. В този случай y = 2x и z = 3.

Проверете дали терминът 2yz е положителен. Ако членът е положителен, факторите на перфектното квадратно квадратно уравнение винаги са (y + z) (y + z). Например, в горното уравнение 12x е положително, следователно факторите са (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Проверете дали терминът 2yz е отрицателен. Ако терминът е отрицателен, факторите винаги са (y - z) (y - z). Например, ако горното уравнение имаше термина -12x вместо 12x, факторите ще бъдат (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Задайте факторизираната форма на квадратното уравнение, като напишете (vx + w) (yx + z) = 0. Припомнете си правилата за умножение на FOIL (First, Outside, Inside, Last). Тъй като първият член на квадратното уравнение е Ax ^ 2, и двата фактора на уравнението трябва да включват x.

Решете за v и y, като вземете предвид всички фактори на A в квадратното уравнение. Ако A = 1, тогава и v, и y винаги ще бъдат 1. В примерното уравнение x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, така че v и y могат да бъдат решени във факторизираното уравнение, за да се получи (1x + w) (1x + z) = 0.

Определете дали w и z са положителни или отрицателни. Прилагат се следните правила: C = положителни и B = положителни; и двата фактора имат знак + C = положителен и B = отрицателен; и двата фактора имат знак - знак C = отрицателен и B = положителен; коефициентът с най-голяма стойност има знак + C = отрицателен и B = отрицателен; коефициентът с най-голяма стойност има знак - В примерното уравнение от стъпка 2, B = -9 и C = +8, така че и двата фактора на уравнението ще имат - знаци, а факторизираното уравнение може да бъде записано като (1x - w) (1x - z) = 0.

Направете списък на всички фактори на C, за да намерите стойностите за w и z. В горния пример C = 8, така че факторите са 1 и 8, 2 и 4, -1 и -8 и -2 и -4. Факторите трябва да се добавят към B, което е -9 в примерното уравнение, така че w = -1 и z = -8 (или обратно) и нашето уравнение е напълно разчетено като (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Намалете уравнението до най-простата му форма, като използвате метода на най-големия общ фактор, изброен по-горе. Например, в уравнението 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, GCF е 9, така че уравнението се опростява до 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Начертайте кутия и я разделете на таблица с два реда и две колони. Поставете Ax ^ 2 от опростеното уравнение в ред 1, колона 1 и C от опростеното уравнение в ред 2, колона 2.

Умножете A по C и намерете всички фактори на продукта. В горния пример A = 1 и C = -10, така че продуктът е (1) (- 10) = -10. Факторите на -10 са -1 и 10, -2 и 5, 1 и -10 и 2 и -5.

Идентифицирайте кои от факторите на продукта AC добавят към B. В примера B = 3. Факторите на -10, които се събират до 3, са -2 и 5.

Умножете всеки от идентифицираните фактори по x. В горния пример това би довело до -2x и 5x. Поставете тези два нови термина в двете празни пространства на диаграмата, така че таблицата да изглежда така:

x ^ 2 | 5 пъти

-2x | -10

Намерете GCF за всеки ред и колона на полето. В примера CGF за горния ред е x, а за долния ред е -2. GCF за първата колона е x, а за втората колона е 5.

Напишете факторизираното уравнение във формата (w + v) (y + z), като използвате факторите, идентифицирани от редовете на диаграмата за w и v, и факторите, идентифицирани от колоните на диаграмата за y и z. Ако уравнението е опростено в стъпка 1, не забравяйте да включите GCF на уравнението във факторизирания израз. В случая на примера факторизираното уравнение ще бъде 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Уверете се, че уравнението е в стандартна квадратна форма, преди да започнете някой от описаните методи.

Не винаги е лесно да се определи перфектен квадрат или разлика в квадратите. Ако можете бързо да видите, че квадратното уравнение, което се опитвате да вземете предвид, е в една от тези форми, тогава това може да бъде от голяма помощ. Не прекарвайте обаче много време, опитвайки се да разберете това, тъй като другите методи могат да бъдат по-бързи.

Винаги проверявайте работата си, като умножавате факторите, използвайки метода FOIL. Факторите винаги трябва да се умножават обратно до първоначалното квадратно уравнение.