Какво представляват реалните числа?

Реалните числа са всички числа на числова линия, простираща се от отрицателна безкрайност през нула до положителна безкрайност. Тази конструкция на множеството реални числа не е произволна, а по-скоро резултат от еволюция от естествените числа, използвани за броене. Системата от естествени числа има няколко несъответствия и тъй като изчисленията стават по-сложни, числовата система се разширява, за да отговори на своите ограничения. При реалните числа изчисленията дават последователни резултати и има малко изключения или ограничения, каквито са били налице при по-примитивните версии на числовата система.

TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)

Наборът от реални числа се състои от всички числа на цифров ред. Това включва естествени числа, цели числа, цели числа, рационални числа и ирационални числа. Той не включва въображаеми числа или комплексни числа.

Затварянето е свойството на набор от числа, което означава, че ако се допускат изчисления на числа, които са членове на набора, отговорите ще бъдат и числа, които са членове на набора. Твърди се, че комплектът е затворен.

Естествените числа са броещи числа, 1, 2, 3..., а наборът от естествени числа не е затворен. Тъй като в търговията се използват естествени числа, веднага възникнаха два проблема. Докато естествените числа отчитат реални обекти, например крави, ако фермерът има пет крави и продаде пет крави, няма естествено число за резултата. Ранните бройни системи много бързо разработиха термин за нула за справяне с този проблем. Резултатът беше системата от цели числа, което е естествените числа плюс нула.

Вторият проблем също е свързан с изваждането. Докато числата отчитат реални предмети като крави, фермерът не може да продаде повече крави, отколкото е имал. Но когато числата стават абстрактни, изваждането на по-големи числа от по-малки дава отговори извън системата от цели числа. В резултат бяха въведени цели числа, които са цели числа плюс отрицателни естествени числа. Числовата система вече включваше пълен номер, но само с цели числа.

Изчисленията в затворена числова система трябва да дават отговори от числовата система за операции като събиране и умножение, но също и за техните обратни операции, изваждане и разделение. Системата от цели числа е затворена за събиране, изваждане и умножение, но не и за деление. Ако цяло число е разделено на друго цяло число, резултатът не винаги е цяло число.

Разделянето на малко цяло число на по-голямо дава дроб. Такива фракции бяха добавени към числовата система като рационални числа. Рационалните числа се дефинират като всяко число, което може да се изрази като съотношение на две цели числа. Всяко произволно десетично число може да бъде изразено като рационално число. Например 2.864 е 2864/1000 и 0.89632 е 89632/100 000. Цифровата линия сега изглеждаше пълна.

На числовата линия има числа, които не могат да бъдат изразени като част от цели числа. Едното е съотношението на страните на правоъгълен триъгълник към хипотенузата. Ако две от страните на правоъгълен триъгълник са 1 и 1, хипотенузата е квадратният корен от 2. Квадратният корен от две е безкраен десетичен знак, който не се повтаря. Такива числа се наричат ​​ирационални и включват всички реални числа, които не са рационални. С тази дефиниция числовата линия на всички реални числа е пълна, защото всяко друго реално число, което не е рационално, е включено в дефиницията за ирационално.

Въпреки че се казва, че реалната числова линия се простира от отрицателна до положителна безкрайност, самата безкрайност не е a реално число, а по-скоро концепция за числовата система, която я определя като количество, по-голямо от всяко номер. Математически безкрайността е отговорът на 1 / x, когато x достига нула, но делението на нула не е дефинирано. Ако безкрайността беше число, това би довело до противоречия, защото безкрайността не следва законите на аритметиката. Например, безкрайността плюс 1 все още е безкрайност.

Наборът от реални числа е затворен за събиране, изваждане, умножение и деление с изключение на деление на нула, което не е дефинирано. Комплектът не е затворен поне за още една операция.

Правилата за умножение в множеството реални числа указват, че умножението на отрицателно и a положителното число дава отрицателно число, докато умножението на положителни или отрицателни числа дава положително отговори. Това означава, че специалният случай на умножаване на число само по себе си дава положително число както за положителни, така и за отрицателни числа. Обратното на този специален случай е квадратният корен от положително число, даващо както положителен, така и отрицателен отговор. За квадратния корен от отрицателно число няма отговор в множеството реални числа.

Концепцията за множеството въображаеми числа разглежда въпроса за отрицателните квадратни корени в реалните числа. Квадратният корен от минус 1 се дефинира като i и всички въображаеми числа са кратни на i. За да завърши теорията на числата, множеството от комплексни числа се дефинира като включващо всички реални и всички въображаеми числа. Реалните числа могат да продължат да се визуализират на хоризонтална числова линия, докато въображаемите числа са вертикална числова линия, като двете се пресичат на нула. Комплексните числа са точки в равнината на двете числови линии, всяка с реална и въображаема компонента.