Разликата между класическата механика и квантовата механика е огромна. Докато в класическата механика частиците и предметите имат ясно определени позиции, в квантовата механика (преди измерване) a може да се каже, че частицата има само набор от възможни позиции, които са описани по отношение на вероятностите от вълната функция.
Уравнението на Шрьодингер дефинира вълновата функция на квантово-механичните системи и научаването как да се използва и интерпретира е важна част от всеки курс по квантова механика. Един от най-простите примери за решение на това уравнение е за частица в кутия.
Вълновата функция
В квантовата механика частицата е представена от aвълнова функция. Това обикновено се означава с гръцката буква psi (Ψ) и зависи както от позицията, така и от времето и съдържа всичко, което може да се знае за частицата.
Модулът на тази функция на квадрат ви казва вероятността частицата да бъде намерена на мястохв моментаT, при условие че функцията е „нормализирана“. Това просто означава коригирано, така че със сигурност ще бъде намерено в
някоипозицияхпо това времеTкогато резултатите на всяко място се сумират, т.е. условието за нормализиране казва, че:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Можете да използвате вълновата функция, за да изчислите очакваната стойност за позицията на частица във времетоT, където очакваната стойност просто означава средната стойност, за която бихте получилихако сте повторили измерването голям брой пъти. Разбира се, това не означава, че това ще бъде резултатът, който бихте получили за дадено измерване - т.е.ефективнопроизволни, въпреки че някои места обикновено са значително по-вероятни от други.
Има много други величини, за които можете да изчислите очакваните стойности, като импулс и енергийни стойности, както и много други „наблюдаеми“.
Уравнение на Шрьодингер
Уравнението на Шрьодингер е диференциално уравнение, което се използва за намиране на стойността за вълновата функция и собствените състояния за енергията на частицата. Уравнението може да бъде получено от запазването на енергията и изразите за кинетичната и потенциалната енергия на частицата. Най-простият начин да го напишете е:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ частичноΨ} {\ частично t}
Но тукНпредставляваХамилтонов оператор, което само по себе си е доста дълъг израз:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ частично ^ 2} {\ частично x ^ 2} + V (x)
Тук,ме масата, ℏ е константата на Планк, разделена на 2π, иV (х) е обща функция за потенциалната енергия на системата. Хамилтонианът има две отделни части - първият член е кинетичната енергия на системата, а вторият член е потенциалната енергия.
Всяка наблюдаема стойност в квантовата механика е свързана с оператор, а в независимата от времето версия на уравнението на Шрьодингер Хамилтониан е енергийният оператор. Въпреки това, във версията, зависима от времето, показана по-горе, Хамилтониан генерира и еволюцията на времето на вълновата функция.
Комбинирайки цялата информация, съдържаща се в уравнението, можете да опишете еволюцията на частицата в пространството и времето и да предвидите възможните енергийни стойности и за нея.
Независимото от времето уравнение на Шрьодингер
Частта от уравнението, зависима от времето, може да бъде премахната - за да се опише ситуация, която не се развива особено с времето - чрез разделяне на вълновата функция на пространство и времеви части:Ψ(х, T) = Ψ(х) е(T). След това зависимите от времето части могат да бъдат отменени от уравнението, което оставя независимата от времето версия на уравнението на Шрьодингер:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Е.е енергията на системата. Това има точната форма на уравнение за собствена стойност, сΨ(х) като собствена функция иЕ.като собствена стойност, поради което независимото от времето уравнение често се нарича уравнение на собствената стойност за енергията на квантовата механична система. Функцията за време просто се дава от:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Независимото от времето уравнение е полезно, защото опростява изчисленията за много ситуации, при които развитието на времето не е особено важно. Това е най-полезната форма за проблеми „частица в кутия“ и дори за определяне на енергийните нива на електрони около атом.
Частица в кутия (Безкраен квадратен кладенец)
Едно от най-простите решения на независимото от времето уравнение на Шрьодингер е за частица в безкрайно дълбок квадратен кладенец (т.е. безкраен потенциален кладенец) или едномерна кутия с основа дължинаL. Разбира се, това са теоретични идеализации, но това дава основна представа за това как решавате уравнението на Шрьодингер, без да отчитате много от усложненията, които съществуват в природата.
С потенциалната енергия, зададена на 0 извън кладенеца, където плътността на вероятността също е 0, уравнението на Schrodinger за тази ситуация става:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
И основното решение за уравнение от тази форма е:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Разглеждането на граничните условия обаче може да помогне за стесняване на това. Зах= 0 их= L, т.е.страните на кутията или стените на кладенеца, вълновата функция трябва да отиде до нула. Функцията косинус има стойност 1, когато аргументът е 0, така че за да бъдат изпълнени граничните условия, константатаБ.трябва да е равно на нула. Това оставя:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Можете също да използвате граничните условия, за да зададете стойност зак. Тъй като функцията sin отива към нула при стойностинπ, където квантово числон= 0, 1, 2, 3... и така нататък, това означава когах = L, уравнението ще работи само акок = нπ / L. И накрая, можете да използвате факта, че вълновата функция трябва да бъде нормализирана, за да намерите стойността наA(интегрирайте във всички възможнихстойности, т.е.от 0 доLи след това задайте резултата равен на 1 и пренаредите), за да стигнете до крайния израз:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Използвайки оригиналното уравнение и този резултат, можете да решите заЕ., което дава:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Имайте предвид, че фактът, чене в този израз означава, че енергийните нива саквантован, така че те не могат да взематвсякаквистойност, но само дискретен набор от специфични стойности на енергийното ниво в зависимост от масата на частицата и дължината на кутията.
Частица в кутия (Краен квадратен кладенец)
Същият проблем се усложнява малко, ако потенциалният кладенец има крайна височина на стената. Например, ако потенциалътV (х) приема стойносттаV0 извън потенциалния кладенец и 0 вътре в него, вълновата функция може да бъде определена в трите основни региона, обхванати от проблема. Това обаче е по-ангажиран процес, така че тук ще можете само да видите резултатите, вместо да преминете през целия процес.
Ако кладенецът е вх= 0 дох = Lотново за региона, къдетох<0 решението е:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
За регионах > L, то е:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Където
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
За района вътре в кладенеца, където 0 <х < L, основното решение е:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Където
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
След това можете да използвате граничните условия, за да определите стойностите на константитеA, Б., ° Сид, отбелязвайки, че освен че има определени стойности по стените на кладенеца, вълновата функция и нейната първа производна трябва да са непрекъснати навсякъде, а вълновата функция трябва да е крайна навсякъде.
В други случаи, като плитки кутии, тесни кутии и много други специфични ситуации, има приближения и различни решения, които можете да намерите.