Продуктът на две скаларни величини е скалар, а произведението на скалар с вектор е вектор, но какво да кажем за произведението на два вектора? Скалар ли е, или друг вектор? Отговорът е, че може да бъде и двете!
Има два начина да вземете векторно произведение. Единият е като вземе техния точков продукт, който дава скалар, а другият е като вземе техния кръстосан продукт, който дава друг вектор. Кой продукт се използва зависи от конкретния сценарий и какво количество се опитвате да намерите.
Напречното произведение на два вектора дава трети вектор, който сочи в посоката, перпендикулярна на равнина, обхванат от двата вектора, и чиято величина зависи от относителната перпендикулярност на двата вектори.
Определение на кръстосания продукт на вектори
Първо дефинираме кръстосаното произведение на единичните векториi, jик(вектори с магнитуд 1, които са в точках-, у-иz-компонентни посоки на стандартната декартова координатна система), както следва:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Имайте предвид, че тези взаимоотношения са анти-комутативни, т.е. ако сменим реда на векторите, от които приемаме произведението, той ще обърне знака на продукта:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Можем да използваме горните дефиниции, за да изведем формулата за кръстосаното произведение на два тримерни вектора. Първо напишете векториаибкакто следва:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Умножавайки двата вектора, получаваме:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ получер {k}) \\ = a_xb_x \ получер {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ пъти i} + a_zb_y \ получер {k \ пъти j} + a_zb_z \ получер {k \ пъти k}
След това, използвайки единичните векторни връзки по-горе, това се опростява до:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ получер {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ получер {k}
(Обърнете внимание, че термините, чието кръстосано произведение е 0, са термините, които образуват точков продукт (наричан още скаларен продукт)!Това не е случайно.)
С други думи:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {където} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Големината на кръстосания продукт може да бъде намерена с помощта на теоремата на Питагор.
Формулата на кръстосания продукт може да се изрази и като детерминанта на следната матрица:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {матрица} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {матрица} \ Bigg | \\ = \ Голям | \ започни {матрица} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Където определителят} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = ad - bc
Друга, често много удобна, формулировка на кръстосания продукт е (вижте края на тази статия за деривацията):
\ получер {a × b} = | \ получер {a} | | \ получер {b} | \ sin (θ) \ получер {n}
Където:
- |а| е величината (дължината) на вектораа
- |б| е величината (дължината) на вектораб
- θ е ъгълът между аи б
- не единичен вектор, перпендикулярен на равнината, обхванат от аиб
Перпендикулярни вектори и дясно правило
В описанието на кръстосания продукт се посочва, че посоката на кръстосания продукт е перпендикулярна на равнината, обхваната от вектораи векторб. Но това оставя две възможности: Може да сочиизвънсамолета иливравнината, обхваната от тези вектори. Реалността е, че всъщност можем да избираме или стига да сме последователни. Фаворизираната посока, избрана както от математици, така и от учени, обаче се определя от нещо, нареченодясно правило.
За да определите посоката на векторния кръстосан продукт, като използвате правилото от дясната страна, насочете показалеца на дясната си ръка в посоката на векторааи средния пръст по посока на вектораб. След това палецът ви сочи в посока на вектора на кръстосания продукт.
Понякога тези указания са трудни за изобразяване на плосък лист хартия, така че често се правят следните конвенции:
За да посочим вектор, който влиза в страницата, изчертаваме кръг с X в него (мислете за това като за представяне на опашните пера в края на стрелката, докато го гледате отзад). За да посочим вектор, който отива в обратна посока извън страницата, изчертаваме кръг с точка в него (мислете за това като за върха на стрелката, сочеща към страницата).
•••na
Свойства на кръстосания продукт
Следват няколко свойства на векторния кръстосан продукт:
\ # \ текст {1. Ако} \ bold {a} \ text {и} \ bold {b} \ text {са успоредни, тогава} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ текст {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ текст {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ текст {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ текст {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Къде} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {матрица } \ Bigg |
Геометрична интерпретация на кръстосания продукт
Когато векторното кръстосано произведение е формулирано по отношение на sin (θ), неговата величина може да се интерпретира като представляваща площта на успоредника, обхванат от двата вектора. Това е така, защото заa × b, |б| sin (θ) = височината на успоредника, както е показано, и |а| е основата.
•••Дана Чен | Наука
Величината на векторния троен продуктa (b × c) от своя страна може да се тълкува като обем на паралелепипеда, обхванат от векторитеа, би° С. Това е така, защото(b × c) дава вектор, чиято величина е площта, обхваната от векторби вектор° С, и чиято посока е перпендикулярна на тази област. Вземайки точковото произведение на векторас този резултат по същество умножава основната площ по височината.
Примери
Пример 1:Силата върху частица от зарядqдвижещи се със скоростvв магнитно полеБ.се дава от:
\ получер {F} = q \ получер {v \ пъти B}
Да предположим, че електрон преминава през магнитно поле 0,005 T със скорост 2 × 107 Госпожица. Ако преминава перпендикулярно през полето, тогава силата, която ще усети, е:
\ bold {F} = q \ bold {v \ пъти B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ по 10 ^ {19}) (2 \ по 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ по 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Ако обаче електронът се движи успоредно на полето, тогава θ = 0 и sin (0) = 0, което прави силата 0.
Имайте предвид, че за електрона, преминаващ перпендикулярно през полето, тази сила ще го накара да се движи по кръгова пътека. Радиусът на този кръгов път може да бъде намерен чрез задаване на магнитната сила, равна на центростремителната сила, и решаване на радиусr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ предполага r = \ frac {mv} {qB}
За горния пример включването на числата дава радиус от около 0,0227 m.
Пример 2:Физическият въртящ момент също се изчислява, като се използва векторно кръстосано произведение. Ако силаFсе прилага към обект в позицияrот точката на въртене, въртящият моментτза точката на въртене се дава от:
\ получер {\ tau} = \ получер {r \ пъти F}
Помислете за ситуацията, при която се прилага сила 7 N под ъгъл към края на пръчка 0,75, чийто друг край е прикрепен към шарнир. Ъгълът междуrиFе 70 градуса, така че въртящият момент може да бъде изчислен:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { н}
Посоката на въртящия момент,н, се намира чрез правилото отдясно. Ако се приложи към изображението по-горе, това дава посока, излизаща от страницата или екрана. По принцип въртящият момент, приложен към обект, ще иска да накара обекта да се върти. Векторът на въртящия момент винаги ще лежи в същата посока като оста на въртене.
Всъщност в тази ситуация може да се използва опростено правило за дясната ръка: Използвайте дясната си ръка, за да "хванете" оста на въртене в по такъв начин, че пръстите ви да се извиват в посоката, в която съответният въртящ момент ще иска да накара обекта да се завърти. След това палецът ви сочи в посоката на вектора на въртящия момент.
Извеждане на формула за кръстосани продукти
\ text {Тук ще покажем как формулата на кръстосания продукт} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ получер {b} | \ sin (θ) \ получер {n} \ текст {може да бъде извлечен.}
Помислете за два векторааибс ъгълθмежду тях. Правоъгълен триъгълник може да бъде оформен чрез изтегляне на линия от върха на вектораакъм перпендикулярна точка на контакт върху вектораб.
Използвайки питагорейската теорема, получаваме следната връзка:
\ Голям | \ Голям (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Голям) \ bold {b} \ Голям | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ получер {a} | ^ 2
\ text {Където \ \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {е проекцията на вектор} \ bold {a} \ text {върху вектор} \ bold {b}.
Опростявайки малко израза, получаваме следното:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
След това умножете двете страни на уравнението по |б|2 и преместете първия член в дясната страна, за да получите:
| \ получер {a} | ^ 2 | \ получер {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ получер {a} | ^ 2 | \ получер {b} | ^ 2 - | \ получер { a \ cdot b} | ^ 2
Работейки с дясната страна, умножете всичко и след това опростете:
| \ получер {a} | ^ 2 | \ получер {b} | ^ 2 - | \ получер {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z_x________b (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ получер {a \ times b} | ^ 2
Задавайки резултата равен на лявата страна на предишното уравнение, получаваме следната връзка:
| \ получер {a \ пъти b} | = | \ получер {a} || \ получер {b} || \ sin (\ theta) |
Това ни показва, че величините са еднакви във формулата, така че последното нещо, което трябва да направите, за да докажете формулата, е да покажете, че посоките също са еднакви. Това може да стане просто като вземете точките отасa × bибсa × bи показва, че те са 0, което означава, че посоката наa × b е перпендикулярна и на двете.