Въртяща се кинетична енергияописва енергията на движение в резултат на въртене на обекта или кръгово движение. Спомнете си товалинейна кинетична енергияна масамдвижещи се със скоростvсе дава от 1 / 2mv2. Това е просто изчисление за всеки обект, движещ се по права линия. Прилага се за центъра на масата на обекта, което позволява обектът да бъде апроксимиран като точкова маса.
Сега, ако искаме да опишем кинетичната енергия на разширен обект, подложен на по-сложно движение, изчислението става по-сложно.
Бихме могли да направим последователни приближения, като разделим разширения обект на малки парчета, всеки от които може да бъде апроксимиран като a точкова маса и след това изчислете линейната кинетична енергия за всяка точкова маса поотделно и ги добавете всички, за да намерите общия за обект. Колкото по-малко разчупваме обекта, толкова по-добро е приближението. В лимита, при който парчетата стават безкрайно малки, това може да се направи с смятане.
Но имаме късмет! Що се отнася до въртеливото движение, има опростяване. За въртящ се обект, ако опишем неговото разпределение на масата около оста на въртене по отношение на неговия момент на инерция,
Аз, тогава можем да използваме просто уравнение на въртящата се кинетична енергия, обсъдено по-късно в тази статия.Момент на инерция
Момент на инерцияе мярка за това колко трудно е да се накара обект да промени своето въртеливо движение около определена ос. Моментът на инерция за въртящ се обект зависи не само от масата на обекта, но и от това как тази маса се разпределя около оста на въртене. Колкото по-далеч от оста е разпределена масата, толкова по-трудно е да се промени нейното въртеливо движение, а оттам и по-големият момент на инерция.
Единиците SI за инерционен момент са kgm2 (което е в съответствие с нашето схващане, че зависи от масата и от разстоянието от оста на въртене). Моментите на инерция за различни обекти могат да бъдат намерени в таблица или от смятане.
Съвети
Моментът на инерция за всеки обект може да бъде намерен с помощта на смятане и формулата за момента на инерцията на точкова маса.
Уравнение на ротационната кинетична енергия
Формулата за ротационна кинетична енергия се дава от:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
КъдетоАзе моментът на инерция на обекта иωе ъгловата скорост на обекта в радиани в секунда (rad / s). SI единицата за ротационна кинетична енергия е джаулът (J).
Формата на формулата на ротационната кинетична енергия е аналогична на уравнението на транслационната кинетична енергия; моментът на инерция играе ролята на маса, а ъгловата скорост замества линейната скорост. Обърнете внимание, че уравнението на ротационната кинетична енергия дава същия резултат за точкова маса като линейното уравнение.
Ако си представим точкова масамдвижещи се в кръг с радиусrсъс скоростv, тогава ъгловата му скорост е ω = v / r и моментът на инерция е mr2. И двете уравнения за кинетична енергия дават един и същ резултат, както се очаква:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Ако обектът се върти едновременно и центърът на масата му се движи по права линия (както се случва например с търкаляща се гума), тогаваобща кинетична енергияе сумата от ротационната кинетична енергия и транслационната кинетична енергия:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Примери за използване на ротационната формула за кинетична енергия
Формулата за ротационна кинетична енергия има много приложения. Може да се използва за изчисляване на простата кинетична енергия на въртящ се обект, за изчисляване на кинетичната енергия на подвижен обект (обект, подложен на въртеливо и транслационно движение) и за решаване за други неизвестни. Обмислете следните три примера:
Пример 1:Земята се върти около оста си приблизително веднъж на всеки 24 часа. Ако приемем, че има еднаква плътност, каква е неговата ротационна кинетична енергия? (Радиусът на земята е 6,37 × 106 m, а масата му е 5,97 × 1024 килограма.)
За да намерим ротационната кинетична енергия, първо трябва да намерим момента на инерцията. Приближавайки Земята като твърда сфера, получаваме:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ текст {kgm} ^ 2
Ъгловата скорост е 2π радиана / ден. Преобразуването на това в rad / s дава:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {секунди}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Тогава ротационната кинетична енергия на Земята е:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ по 10 ^ {29} \ text {J}
Забавен факт: Това е повече от 10 пъти общата енергия, която слънцето издава за минута!
Пример 2:Еднороден цилиндър с маса 0,75 kg и радиус 0,1 m се търкаля по пода с постоянна скорост от 4 m / s. Каква е неговата кинетична енергия?
Общата кинетична енергия се дава от:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
В този случай I = 1/2 mr2 е моментът на инерция за твърд цилиндър, иωе свързано с линейната скорост чрез ω = v / r.
Опростяването на израза за общата кинетична енергия и включването на стойности дава:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ текст {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Имайте предвид, че дори не трябваше да използваме радиуса! Той се отмени поради пряката връзка между скоростта на въртене и линейната скорост.
Пример 3:Ученик на колело спуска по хълма от почивка. Ако вертикалната височина на хълма е 30 м, колко бързо се движи ученикът в дъното на хълма? Да приемем, че велосипедът тежи 8 кг, ездачът тежи 50 кг, всяко колело тежи 2,2 кг (включено в теглото на велосипеда) и всяко колело има диаметър 0,7 m. Приближете колелата като обръчи и приемете, че триенето е незначително.
Тук можем да използваме механично запазване на енергията, за да намерим крайната скорост. Потенциалната енергия в горната част на хълма се превръща в кинетична енергия в дъното. Тази кинетична енергия е сумата от транслационната кинетична енергия на цялата система човек + велосипед и кинетичните енергии на въртене на гумите.
Обща енергия на системата:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ текст {J}
Формулата за обща енергия по отношение на кинетичните енергии в дъното на хълма е:
E_ {tot} = KE_ {отдолу} = \ frac {1} {2} I_ {гуми} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ пъти m_ {гума} \ пъти r_ {гума} ^ 2) (v / r_ {гума}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tyre} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {гума} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Решаване на заvдава:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tyre} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Накрая, включвайки числата, получаваме отговора си:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}