Интегрирането на функции е едно от основните приложения на смятането. Понякога това е просто, като в:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
В сравнително сложен пример от този тип можете да използвате версия на основната формула за интегриране на неопределени интеграли:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
къдетоAи° Сса константи.
По този начин за този пример,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Интегриране на основните функции на квадратния корен
На повърхността интегрирането на квадратна коренна функция е неудобно. Например, може да бъдете засегнати от:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Но можете да изразите квадратен корен като степен, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Следователно интегралът става:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
към които можете да приложите обичайната формула отгоре:
\ начало {подравнено} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {подравнено}
Интеграция на по-сложни квадратни коренни функции
Понякога може да имате повече от един термин под радикалния знак, както в този пример:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Можеш да използвашu-заместване, за да продължите. Ето, вие сте задалиuравно на количеството в знаменателя:
u = \ sqrt {x - 3}
Решете това захчрез квадратиране на двете страни и изваждане:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Това ви позволява да получите dx от гледна точка наuкато вземем производната нах:
dx = (2u) du
Заместването обратно в оригиналния интеграл дава
\ начало {подравнено} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {подравнено}
Сега можете да интегрирате това, като използвате основната формула и изразяванеuот гледна точка нах:
\ начало {подравнено} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ край {подравнен}