В математиката и геометрията едно от уменията, което отличава експертите от претендентите, е познаването на трикове и преки пътища. Времето, което отделяте за изучаването им, се отплаща за спестено време, когато решавате проблеми. Например, струва си да знаете два специални правоъгълни триъгълника, които, след като ги разпознаете, са бързи за решаване. По-специално двата триъгълника са 30-60-90 и 45-45-90.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Два специални правоъгълни триъгълника имат вътрешни ъгли от 30, 60 и 90 градуса и 45, 45 и 90 градуса.
Относно правоъгълните триъгълници
Триъгълниците са тристранни многоъгълници, чиито вътрешни ъгли се добавят до 180 градуса. Правоъгълният триъгълник е специален случай, в който един от ъглите е 90 градуса, така че другите два ъгъла по дефиниция трябва да добавят до 90. Синус, косинус, тангенс и други тригонометрични функции осигуряват начини за изчисляване на вътрешните ъгли на правоъгълни триъгълници, както и дължината на техните страни. Друг незаменим изчислителен инструмент за правоъгълни триъгълници е теоремата на Питагор, която гласи че квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на другите две страни, или
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Решаване на специални правоъгълни триъгълници
Когато работите по какъвто и да е проблем с правоъгълен триъгълник, обикновено се дава поне един ъгъл и една страна и се иска да изчислите останалите ъгли и страни. Използвайки горната формула на Питагор, можете да изчислите дължината на която и да е страна, ако са ви дадени другите две. Голямо предимство на специалните правоъгълни триъгълници е, че пропорциите на дължините на страните им са винаги еднакви, така че можете да намерите дължината на всички страни, ако ви е дадена само една. Освен това, ако ви е дадена само една страна и триъгълникът е специален, можете да намерите и стойностите на ъглите.
Триъгълникът 30-60-90
Както подсказва името, правоъгълният триъгълник 30-60-90 има вътрешни ъгли от 30, 60 и 90 градуса. В резултат на това страните на този триъгълник попадат в пропорциите, 1: 2: √3, където 1 и √3 са дължините на противоположните и съседните страни, а 2 е хипотенузата. Тези числа винаги се съчетават: ако решите страните на правоъгълен триъгълник и установите, че отговарят на шаблона, 1, 2, √3, знаете, че ъглите ще бъдат 30, 60 и 90 градуса. По същия начин, ако ви се даде един от ъглите като 30, вие знаете, че другите два са 60 и 90, както и че страните ще имат пропорциите, 1: 2: √3.
Триъгълникът 45-45-90
Триъгълникът 45-45-90 работи подобно на 30-60-90, с изключение на това, че два ъгъла са равни, както и противоположните и съседните страни. Той има вътрешни ъгли от 45, 45 и 90 градуса. Пропорциите на страните на триъгълника са 1: 1: √2, като делът на хипотенузата е √2. Останалите две страни са еднакви по дължина една на друга. Ако работите върху правоъгълен триъгълник и един от вътрешните ъгли е 45 градуса, знаете в миг, че оставащият ъгъл също трябва да бъде 45 градуса, защото целият триъгълник трябва да се добави до 180 градуса.
Триъгълни страни и пропорции
Когато решавате двата специални правоъгълни триъгълника, имайте предвид, че това епропорциина важните страни, а не тяхното измерване в абсолютно изражение. Например триъгълникът има страни, които измерват 1 фут и 1 фут и feet2 фута, така че знаете, че това е триъгълник 45-45-90 и има вътрешни ъгли 45, 45 и 90 градуса.
Но какво правите с правоъгълен триъгълник, чиито страни измерват 17 фута и 17 фута? Пропорциите на страните са ключови. Тъй като двете страни са идентични, пропорцията е 1: 1 една с друга и тъй като това е правоъгълен триъгълник, пропорцията на хипотенузата е 1: √2 с която и да е от другите страни. Равните пропорции ви подсказват, че страните са 1, 1, √2, което принадлежи само на специалния триъгълник 45-45-90. За да намерите хипотенузата, умножете √17 по √2, за да получите √34 фута.