Понякога единственият начин да преминете през математически изчисления е чрез груба сила. Но на всеки толкова често можете да спестите много работа, като разпознавате специални проблеми, които можете да използвате стандартизирана формула за решаване. Намирането на сумата на кубовете и намирането на разликата на кубовете са два примера за точно това: След като знаете формулите за факторинга3 + б3 илиа3 - б3, намирането на отговора е толкова лесно, колкото заместването на стойностите за a и b в правилната формула.
Поставянето му в контекст
Първо, бърз поглед към това защо може да искате да намерите - или по-подходящо „факториране“ - сумите или разликата в кубчетата. Когато концепцията е въведена за първи път, това е просто математически проблем сам по себе си. Но ако продължавате да изучавате математика, по-късно това ще се превърне в междинна стъпка в по-сложни изчисления. Така че, ако получитеа3 + б3 илиа3 − б3 като отговор по време на други изчисления, можете да използвате уменията, които ще се научите да разбивате на кубчета числата се разделят на по-прости компоненти, което често улеснява продължаването на решаването на оригинала проблем.
Факториране на сумата от кубчета
Представете си, че сте стигнали до бинома
x ^ 3 + 27
и са помолени да го опростят. Първият мандат,х3, очевидно е кубично число. След малко изследване можете да видите, че и второто число е кубично число: 27 е същото като 33. След като знаете, че и двете числа са кубчета, можете да приложите формулата за сумата от кубчета.
Изпишете и двете числа в кубичната им форма, ако това вече не е така. За да продължите този пример, ще имате:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
След като сте свикнали с процеса, можете да пропуснете тази стъпка и да преминете направо към попълване на стойностите от стъпка 1 във формулата. Но особено когато учите, най-добре е да преминете стъпка по стъпка и да си припомните формулата:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Сравнете лявата част на това уравнение с резултата от стъпка 1. Имайте предвид, че можете да заменитехна мястото наа,и 3 на мястото наб.
Заместете стойностите от стъпка 1 във формулата в стъпка 2. Така че имате:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Засега пристигането в дясната страна на уравнението представлява вашият отговор. Това е резултат от факторирането на сумата от две кубични числа.
Факториране на разликата между кубчетата
Факторирането на разликата от две кубични числа работи по същия начин. Всъщност формулата е почти идентична с формулата за сумата от кубчета. Но има една критична разлика: Обърнете специално внимание къде отива знакът минус.
Представете си, че схващате проблема
у ^ 3 - 125
и трябва да го вземем предвид. По старому,у3 е очевиден куб и с малко мисъл трябва да можете да разпознаете, че 125 всъщност е 53. Така че имате:
у ^ 3 - 125 = у ^ 3 - 5 ^ 3
Както преди, напишете формулата за разликата в кубчетата. Забележете, че можете да заменитеузааи 5 заб, и обърнете специално внимание къде отива знакът минус в тази формула. Местоположението на знака минус е единствената разлика между тази формула и формулата за сумата от кубчета.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Изпишете формулата отново, този път замествайки стойностите от стъпка 1. Това дава:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Отново, ако всичко, което трябва да направите, е да вземете предвид разликата в кубчетата, това е вашият отговор.