За разлика от равностранен триъгълник с трите си равни страни и ъгли, равнобедрен с двете си равни страни или правоъгълен триъгълник със своя ъгъл от 90 градуса, мащабният триъгълник има три страни с произволни дължини и три произволни ъгъла. Ако искате да знаете неговата площ, трябва да направите няколко измервания. Ако можете да измерите дължината на едната страна и перпендикулярното разстояние на тази страна към противоположния ъгъл, имате достатъчно информация, за да изчислите площта. Възможно е също така да се изчисли площта, ако знаете дължините и на трите страни. Определянето на стойността на един от ъглите, както и дължините на двете страни, които го образуват, също ви позволява да изчислите площта.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Площта на мащабен триъгълник с основа b и височина h се дава от 1/2 bh. Ако знаете дължините на трите страни, можете да изчислите площта, използвайки формулата на Херон, без да се налага да намирате височината. Ако знаете стойността на ъгъла и дължините на двете страни, които го образуват, можете да намерите дължината на третата страна, като използвате Закона на косинусите и след това да използвате формулата на Херон за изчисляване на площта.
Обща формула за намиране на зона
Помислете за случаен триъгълник. Възможно е да надпишете правоъгълник около него, който използва една от страните като своя основа (няма значение коя) и просто докосва върха на третия ъгъл. Дължината на този правоъгълник е равна на дължината на страната на триъгълника, която го образува, която се нарича основа (б). Ширината му е равна на перпендикулярното разстояние от основата до върха, което се нарича височина (з) на триъгълника.
Площта на току-що нарисувания правоъгълник е равнаб × з. Ако обаче разгледате линиите на триъгълника, ще видите, че те разделят двойката правоъгълници, създадени от перпендикулярната линия, от основата до върха точно наполовина. По този начин площта вътре в триъгълника е точно половината от тази извън него, или 1/2bh. За всеки триъгълник:
\ text {Област} = \ frac {1} {2} \ text {основа} × \ text {височина}
Формула на чаплата
Математиците са знаели как да изчисляват площта на триъгълник с три известни страни от хилядолетия. Те използват Формулата на Херон, кръстена на Херон Александрийски. За да използвате тази формула, първо трябва да намерите половината периметър (с) на триъгълника, което правите, като добавите и трите страни и резултата разделите на две. За триъгълник със страниа, би° С, половин периметър
s = \ frac {1} {2} (a + b + c)
След като разберетес, изчислявате площта по тази формула:
\ text {Площ} = \ sqrt {s (s - a) (s - b) (s - c)}
Използване на закона на косинусите
Помислете за триъгълник с три ъгълаA, Б.и° С. Дължините на трите страни саа, би° С. Страна а е противоположен ъгълA, странабе противоположен ъгълБ., и отстрани° Се противоположен ъгъл° С. Ако знаете един от ъглите - например ъгъл° С- и двете страни, които го образуват - в този случай,аиб- можете да изчислите дължината на третата страна, като използвате тази формула:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos (C)
След като разберете стойността на° С, можете да изчислите площта, използвайки формулата на Heron.