Многоъгълник е всяка затворена двумерна фигура с 3 или повече прави (не извити) страни, а 12-странен полигон е известен като дванадесетоъгълник. Редовен дванадесетоъгълник е този с равни страни и ъгли и е възможно да се изведе формула за изчисляване на неговата площ. Неправилният дванадесетоъгълник има страни с различна дължина и различни ъгли. Шестолъчна звезда е пример. Няма лесен начин за изчисляване на площта на неправилна 12-странна фигура, освен ако случайно не я начертаете на графика и не можете да прочетете координатите на всеки от върховете. Ако не, най-добрата стратегия е да разделите фигурата на правилни фигури, за които можете да изчислите площта.
Изчисляване на площта на правилен 12-странен многоъгълник
За да изчислите площта на обикновен дванадесетоъгълник, трябва да намерите центъра му и най-добрият начин да направите това е да надпишете кръг около него, който просто докосва всеки от неговите върхове. Центърът на кръга е центърът на дванадесетоъгълника, а разстоянието от центъра на фигурата до всеки от нейните върхове е просто радиусът на кръга (
r). Всяка от 12-те страни на фигурата е с еднаква дължина, така че обозначете това сс.Имате нужда от още едно измерване и това е дължината на перпендикулярна линия, изтеглена от средната точка на всяка страна до центъра на 12-страничната форма. Този ред е известен като апотемата. Обозначете дължината му см. Той разделя всеки участък, образуван от радиусовите линии, на два правоъгълни триъгълника. Ти не знаешм, но можете да го намерите с помощта на теоремата на Питагор.
12-те радиални линии разделят кръга, който сте написали около дванадесетоъгълника, на 12 равни секции, така че в центъра на фигурата ъгълът, който прави всяка линия с този до него, е 30 градуса. Всяка от 12-те секции, образувани от радиалните линии, е изградена от двойка правоъгълни триъгълници с хипотенузаrи един ъгъл от 15 градуса. Страната, съседна на ъгъла ем, така че можете да го намерите, като използвате r и синуса на ъгъла.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {и решение за} m \\ m = r × \ sin (15)
Вече можете да намерите площта на всеки от равнобедрените триъгълници, вписани в дванадесетоъгълника, защото знаете дължината на основата - която ес- и височината,м. Площта на всеки триъгълник е
\ начало {подравнено} \ текст {област} & = \ frac {1} {2} × \ text {основа} × \ текст {височина} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ край {подравнено}
Има 12 такива секции, така че умножете по 12, за да намерите общата площ на правилната 12-странична форма:
\ text {Област на редовен двуъгълник} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Намиране на областта на неправилен дванадесетоъгълник
Няма формула за намиране на площта на неправилен дванадесетоъгълник, тъй като дължините на страните и ъглите не са еднакви. Дори е трудно да се определи точно центъра. Най-добрата стратегия е да разделите фигурата на правилни фигури, да изчислите площта на всяка от тях и да ги добавите.
Ако фигурата е нанесена на графика и знаете координатите на върховете, има формула, която можете да използвате за изчисляване на площта. Ако всяка точка (н) се дефинира от (хн, ун) и обикаляте фигурата, за да получите поредица от 12 точки, по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка, площта е:
\ text {Площ} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}