Ако видите изразите 32 и 53, бихте могли да обявите с разцвет, че те означават "три на квадрат" и "пет кубчета", и да можете да търсите еквивалентни числа без експоненти, числата, представени от горните индекси горе вдясно. Тези числа в този случай са 9 и 125.
Но какво, ако вместо, да речем, проста експоненциална функция като y = x 3, вместо това трябва да решите уравнение като y = 3х. Тук x, зависимата променлива, се появява като степен. Има ли начин да издърпате тази променлива от нейното място, за да се справите по-лесно с нея математически?
Всъщност има и отговорът се крие в естествения набор от експоненти, които са забавни и полезни количества, известни като логаритми.
Какви са експонентите?
An експонента, наричан още a мощност, е компресиран начин за изразяване на многократно умножение на число от само себе си. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Всяко число, повишено до степен 1, запазва същата стойност; всяко число с степен 0 е равно на 1. Например 721 = 72; 720 = 1.
Експонентите могат да бъдат отрицателни, създавайки връзката
х−n= 1 / (xн). Те могат също да бъдат изразени като фракции, например 2(5/3). Ако са изразени като дроби, и числителят, и знаменателят трябва да бъдат цели числа.Какво представляват логаритмите?
Логаритмите или „дневниците“ могат да се разглеждат като експоненти, изразени като нещо различно от степен. Това вероятно не помага много, така че може би пример или два ще помогнат.
В израза 103 = 1,000, числото 10 е базаи се издига до третата степен (или силата на три). Можете да изразите това като: "основата на 10, издигната до третата степен, е равна на 1000."
Пример за логаритъм е дневник10(1,000) = 3. Обърнете внимание, че числата и техните взаимоотношения помежду си са същите като в предишния пример, но те са преместени. С думи, това означава, "базата на дневника 10 от 1000 е равна на 3."
Количеството вдясно е степента, до която трябва да се повиши основата на 10, за да се изравни с аргумент, или въвеждане на дневника, стойността в скоби (в този случай 1000). Тази стойност трябва да е положителна, тъй като основата - която може да бъде число, различно от 10, но се приема, че е 10, когато е пропуснато, например "log 4" - също винаги е положителна.
Полезни правила за логаритъма
И така, как можете да работите лесно между регистрационни файлове и експоненти? Няколко правила за поведението на регистрационните файлове могат да ви помогнат да решите експонентни проблеми.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Решаване на експонента
С горната информация сте готови да опитате да решите експонента в уравнение.
Пример: Ако 50 = 4х, какво е х?
Ако вземете дневника до основата 10 на всяка страна и пропуснете изричното идентифициране на основата, това става log 50 = log 4х. От полето по-горе знаете, че дневник 4х = x дневник 4. Това ви оставя с
log 50 = x log 4 или x = (log 50) / (log 4).
Използвайки избрания от Вас калкулатор или електронно устройство, откривате, че решението е (1.689 / 0.602) = 2.82.
Решаване на експоненциални уравнения с e
Същите правила се прилагат, когато основата е д, така нареченият естествен логаритъм, което има стойност около 2.7183. Трябва да имате бутон за това и на вашия калкулатор. Тази стойност също получава своя собствена нотация: logдx се пише просто "ln x."
- Функцията y = дх i, с e не променлива, а константа с тази стойност, е единствената функция с наклон, равен на собствената си височина за всички x и y.
- Точно като лог1010х = x, ln eх = x за всички x.
Пример: Решете уравнението 16 = e2.7x.
Както по-горе, ln 16 = ln e2.7x = 2.7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, така че x = 2/77 / 2,7 = 1.03.