Докато английските думи "последователност" и "серия" имат сходни значения, в математиката те са напълно различни понятия. Последователността е списък с числа, поставени в определен ред, докато поредицата е сумата от такъв списък с числа. Има много видове последователности, включително такива, базирани на безкрайни списъци с числа. Различните последователности и съответните серии имат различни свойства и могат да дадат изненадващи резултати.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Поредиците са списъци с числа, поставени в определен ред според дадените правила. Поредицата, съответстваща на последователност, е сумата от числата в тази последователност. Поредицата може да бъде аритметична, което означава, че има фиксирана разлика между номерата на поредицата или геометрична, което означава, че има фиксиран коефициент. Безкрайните серии нямат окончателно число, но все пак могат да имат фиксирана сума при определени условия.
Видове последователности и серии
Общите последователности са аритметични или геометрични. В аритметична последователност всяко число или член на последователността се различава от предишния член със същото количество. Например, ако разликата в аритметична последователност е 2, съответната аритметична последователност може да бъде 1, 3, 5... Ако разликата е -3, последователността може да бъде 4, 1, -2... Аритметичната последователност се определя от началното число и разликата.
За геометричните последователности термините се различават по коефициент. Например последователност с коефициент 2 може да бъде 2, 4, 8... и последователност с коефициент 0,75 може да бъде 32, 24, 18... Геометричната последователност се дефинира от началния номер и фактора.
Типовете серии зависят от последователността, която се добавя. Аритметичната поредица добавя термините на аритметична последователност, а геометричната поредица добавя геометрична последователност.
Крайни и безкрайни последователности и серии
Поредиците и съответните серии могат да се основават на фиксиран брой термини или безкраен брой. Крайната последователност има начално число, разлика или фактор и фиксиран общ брой членове. Например първата аритметична последователност по-горе с осем термина ще бъде 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Първата геометрична последователност по-горе с шест члена ще бъде 2, 4, 8, 16, 32, 64. Съответните аритметични редове ще имат стойност 64, а геометричните редове 126. Безкрайните последователности нямат фиксиран брой членове и техните условия могат да растат до безкрайност, да намаляват до нула или да се приближават до фиксирана стойност. Съответните редове също могат да имат безкраен, нулев или фиксиран резултат.
Конвергентна и дивергентна серия
Безкрайните редове се различават, ако сумата се приближава до безкрайността с увеличаването на броя на членовете. Една безкрайна редица е конвергентна, ако нейната сума се доближава до една безкрайна стойност като нула или друго фиксирано число. Поредиците са конвергентни, ако членовете на основната последователност бързо се приближават до нула.
Поредицата, добавяща условията на безкрайната последователност 1, 2, 4... се различава, тъй като условията на последователността продължават да растат, позволявайки на сумата да достигне безкрайна стойност с увеличаването на броя на членовете. Поредицата 1, 0,5, 0,25... е конвергентна, защото условията бързо стават много малки.
Докато последователностите са подредени списъци с числа и серии са суми, и двете могат да бъдат важни инструменти в оценяване на множества от числа и свойствата на конвергенция или дивергенция може да имат реален живот последици. Дивергентната серия често представлява нестабилно състояние, докато конвергентната серия често означава, че процесът или структурата ще бъдат стабилни.
