Aвекторе величина, която има както величина, така и посока, свързани с нея. Това е различно от aскаларенколичество, което отговаря само на величина. Скоростта е пример за векторна величина. Той има както величина (колко бързо се движи нещо), така и посока (посоката, в която се движи.)
Векторите често се рисуват като стрелки. Дължината на стрелката съответства на величината на вектора, а точката на стрелката показва посоката.
Има два начина за работа с добавяне и изваждане на вектор. Първият е графично, чрез манипулиране на диаграмите със стрелки на самите вектори. Вторият е математически, което дава точни резултати.
Графично събиране и изваждане на вектор в едно измерение
Когато добавяте два вектора, поставяте опашката на втория вектор към върха на първия вектор, като същевременно запазвате ориентацията на вектора. Theрезултатен векторе вектор, който започва от опашката на първия вектор и сочи по права линия към върха на втория вектор.
Например, помислете за добавяне на векториAиБ.които сочат в една и съща посока по линия. Поставяме ги „от върха до опашката“ и резултантния вектор,
Изваждането на вектори в едно измерение по същество е същото като добавянето, освен ако не „обърнете“ втория вектор. Това се получава директно от факта, че изваждането е същото като добавянето на отрицателно.
Математическо събиране и изваждане на вектор в едно измерение
Когато работите в едно измерение, посоката на вектор може да бъде обозначена със знак. Избираме една посока, която да бъде положителната (обикновено „нагоре“ или „вдясно“ се избират като положителни), и присвояваме всеки вектор, сочещ в тази посока, като положителна величина. Всеки вектор, сочещ в отрицателна посока, е отрицателна величина. Когато добавяте или изваждате вектори, добавете или извадете техните величини със съответните прикрепени знаци.
Да предположим в предишния раздел, векторAимал величина 3 и векторБ.имал магнитуд 5. След това резултатният векторC = A + B =8, вектор с магнитуд 8, сочещ в положителната посока, и резултиращ векторд = A - B =-2, вектор с магнитуд 2, сочещ в отрицателна посока. Имайте предвид, че това е в съответствие с графичните резултати от преди.
Съвет: Внимавайте да добавяте само вектори от същия тип: скорост + скорост, сила + сила и така нататък. Както при цялата математика във физиката, единиците трябва да съвпадат!
Графично събиране и изваждане на вектор в две измерения
Ако първият и вторият вектор не са по една и съща линия в декартовото пространство, можете да използвате същия метод „от върха до опашката“, за да ги добавите или извадите. За да добавите два вектора, просто си представете как вдигате втория и поставяте опашката му до върха на първия, като същевременно запазвате ориентацията си, както е показано. Резултантният вектор е стрелка, започваща в опашката на първия вектор и завършваща на върха на втория вектор:
Точно както в едно измерение, изваждането на един вектор от друг е еквивалентно на обръщане и добавяне. Графично това изглежда по следния начин:
•••Дана Чен | Наука
Забележка: Понякога добавянето на вектор се показва графично чрез поставяне на опашките на двата добавени вектора заедно и създаване на успоредник. Резултантният вектор е диагоналът на този паралелограм.
Математическо събиране и изваждане на вектор в две измерения
За да добавите и извадите вектори в две измерения математически, изпълнете следните стъпки:
Разлага всеки вектор вх-компонент, понякога наричан хоризонтален компонент, и aу-компонент, понякога наричан вертикален компонент, използващ тригонометрия. (Обърнете внимание, че компонентите могат да бъдат или отрицателни, или положителни, в зависимост от посоката, в която сочи векторът)
Добаветех-компонентите на двата вектора заедно и след това добаветеу-компоненти на двата вектора заедно. Този резултат ви давахиукомпоненти на резултантния вектор.
Величината на резултантния вектор може да бъде намерена с помощта на теоремата на Питагор.
Посоката на резултантния вектор може да бъде намерена чрез тригонометрия, използвайки обратната функция на допирателна. Тази посока обикновено се дава като ъгъл по отношение на положителнотох-ос.
Тригонометрия при добавяне на вектор
Спомнете си връзките между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник от тригонометрията.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ текст {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ текст {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Питагорова теорема:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Движението на снаряда предоставя класически примери за това как бихме могли да използваме тези взаимоотношения както за декомпозиране на вектор, така и за определяне на крайната величина и посока на вектора.
Помислете за двама души, които играят улов. Да предположим, че ви е казано, че топката е хвърлена от височина 1,3 м със скорост 16 м / сек под ъгъл 50 градуса спрямо хоризонталата. За да започнете да анализирате този проблем, ще трябва да разложите този начален вектор на скоростта вхиукомпоненти, както е показано:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ пъти \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ текст {m / s}
Ако ловецът пропусне топката и тя се удари в земята, с каква крайна скорост ще удари?
Използвайки кинематични уравнения, можем да определим, че крайните компоненти на скоростта на топката са:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Питагоровата теорема ни позволява да намерим величината:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
И тригонометрията ни позволява да определим ъгъла:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Голям (\ frac {-13.3} {10.3} \ Голям) = - 52,2 \ градус
Пример за добавяне и изваждане на вектор
Помислете за кола, която закръглява зад ъгъла. Да предположимviзащото колата е вх-посока с магнитуд 10 m / s, иvее под ъгъл от 45 градуса с положителнотох-ос с магнитуд 10 m / s. Ако тази промяна в движението настъпи за 3 секунди, каква е величината и посоката на ускорението на автомобила при завъртане?
Спомнете си това ускорениеае векторно количество, определено като:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Къдетоvеиviса съответно окончателни и начални скорости (и следователно също са векторни величини).
За да се изчисли векторната разликаvе - vi,първо трябва да разложим началната и крайната вектори на скоростта:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
След това изваждаме финалахиукомпоненти от началнатахиукомпоненти за получаване на компоненти наvе - vi:
След това изваждамехиукомпоненти:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ текст {m / s}
След това разделете всеки по време, за да получите компонентите на вектора на ускорението:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Използвайте питагорейската теорема, за да намерите величината на вектора на ускорението:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
Накрая използвайте тригонометрия, за да намерите посоката на вектора на ускорението:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Голям (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Голям) = 113 \ градус
