Кинематичните уравнения описват движението на обект, подложен на постоянно ускорение. Тези уравнения свързват променливите на времето, положението, скоростта и ускорението на движещ се обект, позволявайки да се реши някоя от тези променливи, ако другите са известни.
По-долу е изобразен обект, подложен на постоянно ускорение в едно измерение. Променливата T е за времето, позицията е х, скорост v и ускорение а. Индексите i и е означават съответно „начален“ и „окончателен“. Предполага се, че T = 0 при хi и vi.
(Вмъкване на изображение 1)
Списък на кинематичните уравнения
Има три основни кинематични уравнения, изброени по-долу, които се прилагат при работа в едно измерение. Тези уравнения са:
\ # \ текст {1:} v_f = v_i + при \\ \ # \ текст {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 при ^ 2 \\ \ # \ текст {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Бележки за кинематичните уравнения
- Тези уравнения работят само с постоянно ускорение (което може да е нула в случай на постоянна скорост).
- В зависимост от източника, който сте прочели, крайните количества може да нямат индекс е, и / или може да бъде представено в обозначението на функцията като x (t) - Прочети "х като функция на времето “или„х в момента T" - и v (t). Забележи, че x (t) не означава х умножено по T!
-
Понякога количеството хе - хi е написано
Δx, което означава „промяната в х, ”Или дори просто като д, което означава изместване. Всички са еквивалентни. Позицията, скоростта и ускорението са векторни величини, което означава, че имат посока, свързана с тях. В едно измерение посоката обикновено се обозначава със знаци - положителните величини са в положителната посока, а отрицателните - в отрицателната. Индекси: "0" може да се използва за начална позиция и скорост вместо i. Това "0" означава "на T = 0, "и х0 и v0 обикновено се произнасят "x-nught" и "v-nič". * Само едно от уравненията не включва време. Когато изписвате дадености и определяте кое уравнение да използвате, това е ключово!
Специален случай: Свободно падане
Движението със свободно падане е движение на обект, ускоряващ се само от гравитацията при липса на въздушно съпротивление. Прилагат се едни и същи кинематични уравнения; стойността на ускорението в близост до земната повърхност обаче е известна. Големината на това ускорение често се представя от ж, където g = 9,8 m / s2. Посоката на това ускорение е надолу, към повърхността на Земята. (Имайте предвид, че някои източници може да са приблизителни ж като 10 m / s2, а други могат да използват стойност, която е с точност до повече от два знака след десетичната запетая.)
Стратегия за решаване на проблеми за кинематични проблеми в едно измерение:
Скицирайте диаграма на ситуацията и изберете подходяща координатна система. (Спомнете си това х, v и а са всички векторни величини, така че като зададете ясна положителна посока, ще бъде по-лесно да следите знаците.)
Напишете списък с известни количества. (Внимавайте, че понякога познанията не са очевидни. Потърсете фрази като „започва от почивка“, което означава това vi = 0, или „удря земята“, което означава, че хе = 0 и т.н.)
Определете кое количество въпросът иска да намерите. Какво е неизвестното, за което ще се справите?
Изберете подходящото кинематично уравнение. Това ще бъде уравнението, което съдържа вашето неизвестно количество заедно с известни количества.
Решете уравнението за неизвестното количество, след това включете известни стойности и изчислете окончателния отговор. (Внимавайте за единиците! Понякога ще трябва да конвертирате единици, преди да изчислите.)
Примери за едномерна кинематика
Пример 1: Реклама твърди, че спортният автомобил може да се движи от 0 до 60 mph за 2,7 секунди. Какво е ускорението на тази кола в m / s2? Колко далеч пътува през тези 2,7 секунди?
Решение:
(Вмъкване на изображение 2)
Известни и неизвестни количества:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Първата част на въпроса изисква решение за неизвестното ускорение. Тук можем да използваме уравнение # 1:
v_f = v_i + при \ предполага a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Преди да включим числата обаче, трябва да преобразуваме 60 mph в m / s:
60 \ отмяна {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ отмяна {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Тогава ускорението е:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ подчертаване {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
За да намерим докъде стига за това време, можем да използваме уравнение # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 при ^ 2 = \ frac 1 2 \ по 9,93 \ по 2,7 ^ 2 = \ подчертаване {\ получер {36.2} \ текст {m}}
Пример 2: Топка се хвърля нагоре със скорост 15 m / s от височина 1,5 m. Колко бързо върви, когато се удари в земята? Колко време отнема да се удариш в земята?
Решение:
(Вмъкване на изображение 3)
Известни и неизвестни количества:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
За да решим първата част, можем да използваме уравнение # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ предполага v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Всичко вече е в последователни единици, така че можем да включим стойности:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ приблизително \ pm16 \ text {m / s}
Тук има две решения. Кое е вярното? От нашата диаграма можем да видим, че крайната скорост трябва да бъде отрицателна. Така че отговорът е:
v_f = \ подчертаване {\ bold {-16} \ text {m / s}}
За да решим за време, можем да използваме или уравнение # 1, или уравнение # 2. Тъй като уравнение №1 е по-лесно да се работи, ще използваме това:
v_f = v_i + при \ предполага t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ приблизително \ подчертаване {\ bold {3.2} \ text {s }}
Имайте предвид, че отговорът на първата част на този въпрос не беше 0 m / s. Въпреки че е вярно, че след като топката кацне, тя ще има 0 скорост, този въпрос иска да знае колко бързо върви в тази секунда преди удара. След като топката влезе в контакт със земята, нашите кинематични уравнения вече не се прилагат, защото ускорението няма да бъде постоянно.
Кинематични уравнения за движение на снаряда (две измерения)
Снаряд е обект, който се движи в две измерения под въздействието на земната гравитация. Пътят му е парабола, защото единственото ускорение се дължи на гравитацията. Кинематичните уравнения за движение на снаряда имат малко по-различна форма от изброените по-горе кинематични уравнения. Използваме факта, че компонентите на движението са перпендикулярни един на друг - като хоризонталата х посока и вертикала у посока - са независими.
Стратегия за решаване на проблеми при проблеми с кинематиката на движението на снаряда:
Скицирайте схема на ситуацията. Подобно на едномерното движение е полезно да се скицира сценарият и да се посочи координатната система. Вместо да използвате етикетите х, v и а за позиция, скорост и ускорение, се нуждаем от начин за маркиране на движението във всяко измерение поотделно.
За хоризонталната посока най-често се използва х за позиция и vх за х-компонента на скоростта (имайте предвид, че ускорението е 0 в тази посока, така че не се нуждаем от променлива за него.) В у посока, най-често се използва у за позиция и vу за y-компонента на скоростта. Ускорението може да бъде етикетирано ау или можем да използваме факта, че знаем, че ускорението поради гравитацията е ж в отрицателната посока y и просто използвайте това вместо това.
Напишете списък с известни и неизвестни величини, като разделите задачата на два раздела: вертикално и хоризонтално движение. Използвайте тригонометрия, за да намерите x- и y-компонентите на всякакви векторни величини, които не са разположени по оста. Може да е полезно да изброите това в две колони:
(вмъкнете таблица 1)
Забележка: Ако скоростта е дадена като величина заедно с ъгъл, Ѳ, над хоризонталата, след това използвайте векторно разлагане, vх= vcos (Ѳ) и vу= vsin (Ѳ).
Можем да разгледаме трите си кинематични уравнения от преди и да ги адаптираме съответно към посоките x и y.
X посока:
x_f = x_i + v_xt
Y посока:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Имайте предвид, че ускорението в у посоката е -g, ако приемем, че е положителен. Често срещано погрешно схващане е, че g = -9,8 m / s2, но това е неправилно; ж само по себе си е просто величината на ускорението: g = 9,8 m / s2, така че трябва да уточним, че ускорението е отрицателно.
Решете за едно неизвестно в едно от тези измерения и след това включете общото в двете посоки. Докато движението в двете измерения е независимо, то се случва в една и съща времева скала, така че времевата променлива е еднаква и в двете измерения. (Времето, необходимо на топката да се подложи на вертикалното си движение, е същото като времето, което е необходимо, за да се подложи на хоризонталното си движение.)
Примери за кинематика на движение на снаряди
Пример 1: Снаряд се изстрелва хоризонтално от скала с височина 20 m с начална скорост 50 m / s. Колко време отнема да се удариш в земята? Колко далеч от основата на скалата се приземява?
(вмъкнете изображение 4)
Известни и неизвестни количества:
(вмъкнете таблица 2)
Можем да намерим времето, необходимо за удряне на земята, като използваме второто уравнение за вертикално движение:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ предполага t = \ sqrt {\ frac {(2 \ по 20)} g} = \ подчертаване {\ bold {2.02} \ text {s} }
След това да намерим къде каца, хе, можем да използваме уравнението за хоризонтално движение:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ подчертаване {\ bold {101} \ text {s}}
Пример 2: Топка се изстрелва на 100 m / s от нивото на земята под ъгъл 30 градуса с хоризонталата. Къде каца? Кога скоростта му е най-малка? Какво е местоположението му в този момент?
(вмъкнете изображение 5)
Известни и неизвестни количества:
Първо трябва да разделим вектора на скоростта на компоненти:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ приблизително 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ текст {m / s}
Тогава нашата таблица с количества е:
(вмъкнете таблица 3)
Първо трябва да намерим времето, в което топката е в полет. Можем да направим това с второто вертикално уравнение_. Имайте предвид, че ние използваме симетрия на параболата, за да определим, че окончателният _y скоростта е отрицателната на началната:
След това определяме докъде се движи в х посока в този момент:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ по 10,2 \ приблизително \ подчертаване {\ bold {883} \ text m}
Използвайки симетрията на параболичния път, можем да определим, че скоростта е най-малка при 5.1 s, когато снарядът е в пика на своето движение и вертикалната компонента на скоростта е 0. Х- и у-компонентите на неговото движение по това време са:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ по 5,1 \ приблизително \ подчертаване {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5,1- \ frac 1 2 9,8 \ по 5,1 ^ 2 \ приблизително \ подчертано {\ bold {128} \ text {m}}
Извеждане на кинематични уравнения
Уравнение # 1: Ако ускорението е постоянно, тогава:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Решавайки скоростта, имаме:
v_f = v_i + при
Уравнение # 2: Средната скорост може да се запише по два начина:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Ако заменим _vе _с израза от уравнение # 1 получаваме:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Решаване на за хе дава:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 при ^ 2
Уравнение # 3: Започнете с решаване за T в уравнение # 1
v_f = v_i + при \ предполага t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Включете този израз в за T в съотношението на средната скорост:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ подразбира \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Пренареждането на този израз дава:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)