قبل مناقشة مركز الجاذبية ، دعنا نفترض بعض المعلمات. الأول ، أنك تتعامل مع جسم موجود على سطح الأرض ، وليس في الفضاء في مكان ما. وثانيًا ، أن الجسم صغير نسبيًا - لنفترض أنه ليس سفينة فضاء متوقفة على الأرض ، في انتظار الإقلاع. بمجرد القضاء على كل تلك التأثيرات خارج كوكب الأرض ، ستكون في وضع جيد لحساب مركز الجاذبية للأجسام الهندسية باستخدام معادلة بسيطة نسبيًا - وفي الواقع ، بسبب هذه الشروط التي تم تعيينها للتو ، ستستخدم نفس الصيغة لإيجاد مركز الجاذبية لإيجاد مركز الكتلة.
كيف تكتب عن مركز الثقل
عادةً ما يُرمز إلى مركز الجاذبية في مستوى ثنائي الأبعاد بالإحداثيات (xcg، ذcg) أو أحيانًا بالمتغيراتxوذمع شريط فوقهم. أيضًا ، أحيانًا ما يتم اختصار مصطلح "مركز الثقل" إلى cg.
كيفية حساب CG للمثلث
غالبًا ما يحتوي كتاب الرياضيات أو الفيزياء الخاص بك على مخططات بيانية لتحديد مركز التوازن لأرقام معينة. ولكن بالنسبة لبعض الأشكال الهندسية الشائعة ، يمكنك استخدام صيغة مركز الجاذبية المناسبة لإيجاد مركز ثقل هذا الشكل.
بالنسبة للمثلثات ، يقع مركز الجاذبية عند نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة. إذا بدأت من رأس المثلث ثم رسمت خطًا مستقيمًا إلى نقطة منتصف الجانب الآخر ، فهذا متوسط واحد. افعل الشيء نفسه مع الرأسين الآخرين ، والنقطة التي تتقاطع فيها المتوسطات الثلاثة هي مركز ثقل المثلث.
وبالطبع ، هناك معادلة لذلك. إذا كانت إحداثيات مركز ثقل المثلث هي (xcg، ذcg) ، تجد إحداثياتها هكذا:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
أين (x1، ذ1) ، (x2، ذ2) و (x3، ذ3) هي إحداثيات رءوس المثلث الثلاثة. يمكنك اختيار أي رقم يتم تعيينه للرأس.
صيغة مركز الجاذبية للمستطيل
هل لاحظت أنه لإيجاد مركز الثقل لمثلث ، فأنت فقط متوسط قيمة إحداثيات x ، ثم متوسط قيمة إحداثيات y ، واستخدام النتيجتين كإحداثيات لمركز الثقل الخاص بك؟
لإيجاد مركز الجاذبية لمستطيل ، عليك أن تفعل الشيء نفسه بالضبط. ولكن لتسهيل حساباتك ، افترض أن المستطيل موجه بشكل مباشر إلى الديكارتي تنسيق المستوى (لذلك لم يتم ضبطه بزاوية) ، وأن يكون رأسه السفلي الأيسر في أصل رسم بياني. في هذه الحالة ، لإيجاد (xcg، ذcg) بالنسبة للمستطيل ، كل ما عليك حسابه هو:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
إذا كنت لا تريد نقل المستطيل إلى أصل المستوى الإحداثي أو إذا لم يكن لأي سبب من الأسباب مربعًا بالضبط مع تنسيق المحاور ، يمكنك مواجهة هذه الصيغة التي تبدو مخيفة قليلاً ، ولكنها لا تزال فعالة ، لمتوسط جميع إحداثيات x الخاصة بها للعثور على القيمة من xcg، ومتوسط كل إحداثيات y لإيجاد قيمة ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
معادلة مركز الجاذبية
ماذا لو احتجت إلى حساب مركز الجاذبية لشكل يناسب جميع الافتراضات المذكورة أولاً (في الأساس ، أنت لا تحاول القيام بعلم الصواريخ الحرفي من خلال إيجاد مركز الجاذبية للأشياء الموجودة في الفضاء) ، لكنه لا يقع ضمن أي من الفئات المذكورة للتو أو في المخططات الموجودة في الجزء الخلفي من كتاب مدرسي؟ بعد ذلك ، يمكنك تقسيم الشكل إلى أشكال مألوفة أكثر ، واستخدام المعادلات التالية لإيجاد مركز الثقل الجماعي الخاص بهم:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
أو بعبارة أخرى ، xcg يساوي مساحة القسم 1 ضعف موقعه على المحور x ، مضافًا إلى مساحة القسم ضعف موقعه ، وهكذا حتى تضيف موقع أوقات المنطقة لجميع الأقسام ؛ ثم قسّم هذا المبلغ بالكامل على المساحة الإجمالية لجميع الأقسام. ثم افعل نفس الشيء مع ذ.
س: كيف اجد مساحة كل قسم؟يتيح لك تقسيم الشكل المعقد أو غير المنتظم إلى مضلعات أكثر شيوعًا استخدام الصيغ الموحدة للعثور على المنطقة. على سبيل المثال ، إذا قسمت هذا الشكل إلى قطع مستطيلة ، يمكنك استخدام صيغة الطول × العرض لإيجاد مساحة كل قطعة.
س: ما هو "موقع" كل قسم؟موقع كل قسم هو الإحداثي المناسب من مركز ثقل هذا القسم. لذلك إذا كنت تريد ذ2 (موقع القطعة 2) ، فأنت في الواقع بحاجة إلى توفير الإحداثي y لمركز ثقل هذا الجزء. مرة أخرى ، هذا هو سبب تقسيم كائن غريب الشكل إلى أشكال مألوفة أكثر ، لأنه يمكنك استخدام امتداد تمت مناقشة الصيغ بالفعل للعثور على مركز ثقل كل شكل ، ثم استخراج الإحداثيات المناسبة (س).
س: أين يذهب شكلي على مستوى الإحداثيات؟يمكنك اختيار مكان وجود شكلك على مستوى الإحداثيات - فقط ضع في اعتبارك أن مركز ثقل المجيب سيكون مرتبطًا بنفس النقطة المرجعية. من الأسهل وضع الكائن في الربع الأول من الرسم البياني ، بحيث تكون الحافة السفلية له مقابل المحور x والحافة اليسرى مقابل المحور y بحيث تكون جميع قيم x و y موجبة ، ولكنها أيضًا صغيرة بما يكفي لتكون كذلك يمكن السيطرة عليها.
حيل لإيجاد مركز الثقل
إذا كنت تتعامل مع كائن واحد ، فإن الحدس والقليل من المنطق في بعض الأحيان هو كل ما تحتاجه لإيجاد مركز جاذبيته. على سبيل المثال ، إذا كنت تفكر في قرص مسطح ، فسيكون مركز الجاذبية هو مركز القرص. في الأسطوانة ، تكون نقطة المنتصف على محور الأسطوانة. بالنسبة للمستطيل (أو المربع) ، فهي النقطة التي تتلاقى فيها الخطوط القطرية.
ربما لاحظت وجود نمط هنا: إذا كان الكائن المعني به خط تماثل ، فسيكون مركز الجاذبية على هذا الخط. وإذا كان لديه محاور تماثل متعددة ، فسيكون مركز الثقل حيث تتقاطع تلك المحاور.
أخيرًا ، إذا كنت تحاول العثور على مركز الثقل لجسم معقد حقًا ، فلديك خياران: إما أن تخلص من أفضل تكاملات التفاضل والتكامل (انظر موارد التكامل الثلاثي الذي يمثل مركز الثقل لكتلة غير موحدة) أو إدخال بياناتك في مركز ثقل مبني لهذا الغرض آلة حاسبة. (انظر الموارد للحصول على مثال لآلة حاسبة لمركز الثقل للطائرات التي يتم التحكم فيها عن طريق الراديو).
