في مصطلحات العالم الحقيقي ، القطع المكافئ هو القوس الذي تصنعه الكرة عند رميها ، أو الشكل المميز لطبق القمر الصناعي. بعبارات رياضية ، القطع المكافئ هو الشكل الذي تحصل عليه عندما تقطع مخروطًا صلبًا بزاوية موازية لأحد جوانبها ، وهذا هو السبب في أنها تُعرف بأحد "المقاطع المخروطية." أسهل طريقة لإيجاد معادلة القطع المكافئ هي باستخدام معرفتك بنقطة خاصة ، تسمى الرأس ، والتي تقع على القطع المكافئ بحد ذاتها.
التعرف على صيغة القطع المكافئ
إذا رأيت معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين ، من النموذجص = الفأس2 + ب س + جحيث ≠ 0 ، ثم تهانينا! لقد وجدت القطع المكافئ. تُعرف المعادلة التربيعية أحيانًا أيضًا باسم صيغة "النموذج القياسي" للقطع المكافئ.
ولكن إذا تم عرض رسم بياني للقطع المكافئ (أو أعطيت القليل من المعلومات حول القطع المكافئ في النص أو "الكلمة المشكلة ") ، سترغب في كتابة القطع المكافئ الخاص بك في ما يعرف بصيغة قمة الرأس ، والتي تبدو هذا:
ص = أ (س - ح)2 + ك(إذا تم فتح القطع المكافئ عموديًا)
س = أ (ص - ك)2 + ح(إذا تم فتح القطع المكافئ أفقيًا)
ما هو رأس القطع المكافئ؟
في كلتا الصيغتين ، تمثل الإحداثيات (h ، k) رأس القطع المكافئ ، وهي النقطة التي يتقاطع فيها محور التناظر في القطع المكافئ مع خط القطع المكافئ نفسه. أو بعبارة أخرى ، إذا قمت بطي القطع المكافئ إلى نصفين أسفل المنتصف مباشرة ، فسيكون الرأس هو "قمة" القطع المكافئ ، حيث تتقاطع تمامًا مع طية الورق.
إيجاد معادلة القطع المكافئ
إذا طُلب منك العثور على معادلة القطع المكافئ ، فسيتم إخبارك برأس الرأس القطع المكافئ ونقطة أخرى على الأقل ، أو ستحصل على معلومات كافية لمعرفة ذلك خارج. بمجرد حصولك على هذه المعلومات ، يمكنك إيجاد معادلة القطع المكافئ في ثلاث خطوات.
لنقم بمثال لنرى كيف يعمل. تخيل أنك حصلت على قطع مكافئ في شكل رسم بياني. تم إخبارك أن رأس القطع المكافئ يقع عند النقطة (1،2) ، وأنه ينفتح عموديًا وأن هناك نقطة أخرى على القطع المكافئ (3،5). ما هي معادلة القطع المكافئ؟
مع كل هذه الأحرف والأرقام العائمة ، قد يكون من الصعب معرفة متى "انتهيت" من إيجاد صيغة! كقاعدة عامة ، عند التعامل مع مشاكل في بعدين ، تكون قد انتهيت عندما يتبقى لديك متغيرين فقط. عادة ما تتم كتابة هذه المتغيرات بصيغةxوذ,خاصة عندما تتعامل مع أشكال "معيارية" مثل القطع المكافئ.
يجب أن تكون أولويتك الأولى هي تحديد شكل معادلة الرأس التي ستستخدمها. تذكر ، إذا تم فتح القطع المكافئ عموديًا (مما قد يعني أن الجانب المفتوح من U متجهًا لأعلى أو لأسفل) ، فستستخدم هذه المعادلة:
ص = أ (س - ح)2 + ك
وإذا تم فتح القطع المكافئ أفقيًا (مما قد يعني أن الجانب المفتوح من U وجهًا لليمين أو لليسار) ، فستستخدم هذه المعادلة:
س = أ (ص - ك)2 + ح
نظرًا لأن المثال المكافئ يفتح عموديًا ، فلنستخدم المعادلة الأولى.
بعد ذلك ، استبدل إحداثيات رأس القطع المكافئ (h، k) في الصيغة التي اخترتها في الخطوة 1. نظرًا لأنك تعلم أن الرأس يقع عند (1،2) ، فسوف تستبدل بـ h = 1 و k = 2 ، مما يمنحك ما يلي:
ص = أ (س - 1)2 + 2
آخر شيء عليك القيام به هو إيجاد قيمةأ. للقيام بذلك اختر أي نقطة (س ، ص) على القطع المكافئ ، طالما أن هذه النقطة ليست الرأس ، واستبدلها في المعادلة.
في هذه الحالة ، لقد حصلت بالفعل على إحداثيات نقطة أخرى على الرأس: (3،5). لذلك سوف تعوض بـ x = 3 و y = 5 ، مما يعطيك:
5 = أ (3-1)2 + 2
الآن كل ما عليك فعله هو حل هذه المعادلة من أجلأ. القليل من التبسيط يمنحك ما يلي:
5 = أ (2)2 + 2، والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر من أجل:
5 = أ (4) + 2، والتي بدورها تصبح:
3 = أ (4)وأخيرًا:
أ = 3/4
الآن بعد أن وجدت قيمةأ، استبدلها في المعادلة الخاصة بك لإنهاء المثال:
ص = (3/4) (س - 1)2 + 2هي معادلة القطع المكافئ برأس (1،2) وتحتوي على النقطة (3،5).