كيفية إيجاد الزاوية المركزية

تخيل أنك تقف في منتصف ساحة دائرية تمامًا. أنت تنظر إلى الحشود على جانبي الساحة ، وتجد صديقك المفضل في مقعد واحد ومعلم الرياضيات في المدرسة الإعدادية في قسمين. ما هي المسافة بينهم وبينك؟ ما المسافة التي يجب أن تقطعها سيرًا على الأقدام لتنتقل من مقعد صديقك إلى مقعد معلمك؟ ما هي مقاييس الزوايا بينكما؟ هذه كلها أسئلة تتعلق بالزوايا المركزية.

أ زاوية مركزية هي الزاوية التي تتشكل عند رسم نصف قطر من مركز الدائرة إلى حوافها. في هذا المثال ، نصف القطر هما خطي رؤيتك ، في وسط الساحة ، إلى صديقك ، وخط رؤيتك لمعلمك. الزاوية التي تتكون بين هذين الخطين هي الزاوية المركزية. إنها الزاوية الأقرب لمركز الدائرة.

يجلس صديقك ومعلمك على طول محيط أو حواف الدائرة. المسار على طول الحلبة الذي يربط بينهما هو ملف قوس.

هناك معادلتان يمكنك استخدامهما لإيجاد الزاوية المركزية. في بعض الأحيان ستحصل على ملف طول القوس، المسافة على طول المحيط بين نقطتين. (في المثال ، هذه هي المسافة التي يجب أن تتجول فيها في الحلبة لتصل من صديقك إلى معلمك.) العلاقة بين الزاوية المركزية وطول القوس هي:

(طول القوس) محيط = (الزاوية المركزية) ÷ 360 درجة

ستكون الزاوية المركزية بالدرجات.

هذه الصيغة منطقية ، إذا فكرت في الأمر. طول القوس من الطول الإجمالي حول الدائرة (المحيط) هو نفس نسبة زاوية القوس من الزاوية الكلية في الدائرة (360 درجة).

لاستخدام هذه المعادلة بشكل فعال ، تحتاج إلى معرفة محيط الدائرة. لكن يمكنك أيضًا استخدام هذه الصيغة لإيجاد طول القوس إذا كنت تعرف الزاوية المركزية والمحيط. أو ، إذا كان لديك طول القوس والزاوية المركزية ، يمكنك إيجاد المحيط!

يمكنك أيضًا استخدام نصف قطر الدائرة وطول القوس لإيجاد الزاوية المركزية. استدع قياس الزاوية المركزية θ. ثم:

θ = ق÷ ص، حيث s هو طول القوس و r هو نصف القطر. θ يقاس بالراديان.

مرة أخرى ، يمكنك إعادة ترتيب هذه المعادلة بناءً على المعلومات التي لديك. يمكنك إيجاد طول القوس من نصف القطر والزاوية المركزية. أو يمكنك إيجاد نصف القطر إذا كانت لديك الزاوية المركزية وطول القوس.

إذا كنت تريد طول القوس ، فستبدو المعادلة كما يلي:

ق =θ * ص، حيث s هو طول القوس ، و r هو نصف القطر ، و هي الزاوية المركزية بالراديان.

دعنا نضيف لمسة إلى مثالك حيث تكون في الساحة مع جارك ومعلمك. الآن هناك شخص ثالث تعرفه في الساحة: جارك المجاور. وشيء آخر: إنهم خلفك. عليك أن تستدير لرؤيتهم.

يقع جارك عبر الساحة تقريبًا من صديقك ومعلمك. من وجهة نظر جارك ، هناك زاوية تشكلت من خلال خط نظرهم إلى الصديق وخط نظرهم إلى المعلم. هذه تسمى الزاوية المحيطية. ان الزاوية المحيطية هي زاوية تتكون من ثلاث نقاط على طول محيط الدائرة.

تشرح نظرية الزاوية المركزية العلاقة بين حجم الزاوية المركزية التي شكلتها أنت والزاوية المحيطية التي شكلها جارك. ال نظرية الزاوية المركزية ينص علي الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية. (هذا يفترض أنك تستخدم نفس نقاط النهاية. أنتما تنظران إلى المعلم والصديق ، وليس أي شخص آخر).

هذه طريقة أخرى لكتابتها. دعنا نطلق على مقعد صديقك أ ، ومقعد معلمك ب ، ومقعد جارك ج. أنت ، في المركز ، يمكن أن تكون O.

إذن ، لثلاث نقاط A و B و C على طول محيط الدائرة والنقطة O في المركز ، تكون الزاوية المركزية ∠AOC ضعف الزاوية المحيطية ∠ABC.

هذا هو، ∠AOC = 2∠ABC.

هذا منطقي. أنت أقرب إلى الصديق والمعلم ، لذا ينظران إليك بعيدًا (زاوية أكبر). بالنسبة لجارك على الجانب الآخر من الاستاد ، يبدوان أقرب كثيرًا من بعضهما (زاوية أصغر).

الآن ، دعنا نغير الأمور. جارك على الجانب الآخر من الساحة يبدأ في التحرك! لا يزال لديهم خط رؤية للصديق والمعلم ، لكن الخطوط والزوايا تتغير مع تحرك الجار. خمن ماذا: طالما بقي الجار خارج القوس بين الصديق والجار ، فإن نظرية الزاوية المركزية لا تزال صحيحة!

لكن ماذا يحدث عندما يتحرك الجار ما بين الصديق والمعلم؟ الآن جارك داخل قوس طفيف، المسافة الصغيرة نسبيًا بين الصديق والمعلم مقارنة بالمسافة الأكبر حول باقي الساحة. ثم تصل إلى استثناء لنظرية الزاوية المركزية.

ال استثناء من نظرية الزاوية المركزية ينص على أنه عندما تكون النقطة C ، الجار ، داخل القوس الصغير ، فإن الزاوية المحيطية هي مكمل لنصف الزاوية المركزية. (تذكر أن الزاوية و ملحق أضف إلى 180 درجة.)

وبالتالي: الزاوية المحيطية = 180 - (الزاوية المركزية ÷ 2)

أو: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)

يحتوي Math Open Reference على أداة لتصور نظرية الزاوية المركزية واستثناءاتها. يمكنك سحب "الجار" إلى جميع أجزاء الدائرة المختلفة ومشاهدة الزوايا تتغير. جربه إذا كنت تريد تدريبًا بصريًا أو إضافيًا!