يشبه حل تفاوتات القيمة المطلقة إلى حد كبير حل معادلات القيمة المطلقة ، ولكن هناك بعض التفاصيل الإضافية التي يجب وضعها في الاعتبار. من المفيد بالفعل أن تكون مريحًا في حل معادلات القيمة المطلقة ، لكن لا بأس إذا كنت تتعلمها معًا أيضًا!
تعريف عدم المساواة في القيمة المطلقة
بادئ ذي بدء ، يعد ملفعدم المساواة في القيمة المطلقةهي متباينة تتضمن تعبيرًا عن القيمة المطلقة. على سبيل المثال،
| 5 + س | - 10> 6
هي متباينة في القيمة المطلقة لأنها تحتوي على علامة عدم المساواة ،> ، وتعبير القيمة المطلقة ، | 5 +x |.
كيفية حل عدم المساواة في القيمة المطلقة
الخطوات لحل عدم المساواة في القيمة المطلقةتشبه إلى حد كبير خطوات حل معادلة القيمة المطلقة:
الخطوة 1:افصل تعبير القيمة المطلقة على أحد جانبي المتباينة.
الخطوة 2:حل "النسخة" الموجبة من عدم المساواة.
الخطوه 3:حل "النسخة" السالبة من المتباينة بضرب الكمية على الجانب الآخر من المتباينة ب 1 وقلب علامة المتباينة.
هذا كثير لتستوعبه دفعة واحدة ، لذا إليك مثال سيرشدك خلال الخطوات.
حل المتباينة من أجلx:
| 5 + 5x | - 3> 2
للقيام بذلك ، احصل على | 5 + 5x| بمفرده على الجانب الأيسر من المتباينة. كل ما عليك فعله هو إضافة 3 لكل جانب:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
يوجد الآن "نسختان" من عدم المساواة نحتاج إلى حلهما: "النسخة" الإيجابية و "النسخة" السلبية.
في هذه الخطوة ، سنفترض أن الأشياء كما تبدو: 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 ← 5 + 5 س> 5
هذه تفاوت بسيط. عليك فقط حلهاxكل عادة. اطرح 5 من كلا الطرفين ثم اقسم كلا الطرفين على 5.
\ start {align} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5-5 \ quad \ text {(اطرح خمسة من كلا الجانبين)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(قسّم كلا الجانبين على خمسة)} \\ & x> 0 \ end {align}
ليس سيئا! إذن ، أحد الحلول الممكنة لعدم المساواة هو ذلكx> 0. الآن ، نظرًا لوجود قيم مطلقة ، فقد حان الوقت للنظر في احتمال آخر.
لفهم هذا الجزء التالي ، من المفيد أن نتذكر ما تعنيه القيمة المطلقة.قيمه مطلقهيقيس مسافة الرقم من الصفر. المسافة دائمًا موجبة ، لذا 9 تبعد 9 وحدات عن الصفر ، لكن −9 تبعد أيضًا تسع وحدات عن الصفر.
هكذا | 9 | = 9 ، لكن | −9 | = 9 كذلك.
الآن عد إلى المشكلة أعلاه. أظهر العمل أعلاه أن | 5 + 5x| > 5; بمعنى آخر ، القيمة المطلقة لـ "شيء ما" أكبر من خمسة. الآن ، أي عدد موجب أكبر من خمسة سيكون أبعد من صفر عن خمسة. لذلك كان الخيار الأول هو أن "شيئًا ما" 5 + 5x، أكبر من 5.
هذا هو:
5 + 5x> 5
هذا هو السيناريو الذي تم تناوله أعلاه ، في الخطوة 2.
الآن فكر قليلا. ماذا بعد خمس وحدات من الصفر؟ حسنًا ، سالب خمسة يساوي. وأي شيء أبعد على خط الأعداد من سالب خمسة سيكون أبعد من الصفر. لذلك يمكن أن يكون "الشيء" رقمًا سالبًا أبعد من الصفر عن سالب خمسة. هذا يعني أنه سيكون رقمًا أكبر صوتًا ، ولكن من الناحية الفنيةأقل منسالب خمسة لأنه يتحرك في الاتجاه السالب على خط الأعداد.
لذا فإن "الشيء" ، 5 + 5x ، يمكن أن يكون أقل من 5.
5 + 5x
الطريقة السريعة للقيام بذلك جبريًا هي ضرب الكمية على الجانب الآخر من المتباينة ، 5 ، في سالب واحد ، ثم قلب علامة المتباينة:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
ثم حل كالمعتاد.
\ start {align} & 5 + 5x
إذن ، الحلان المحتملان لعدم المساواة هماx> 0 أوx< −2. تحقق من نفسك عن طريق إدخال بعض الحلول الممكنة للتأكد من أن المتباينة لا تزال صحيحة.
عدم المساواة في القيمة المطلقة مع عدم وجود حل
هناك سيناريو حيث سيكون هناكلا توجد حلول لعدم المساواة في القيمة المطلقة. نظرًا لأن القيم المطلقة موجبة دائمًا ، فلا يمكن أن تكون مساوية للأرقام السالبة أو أقل منها.
هكذا |x| <2 لديهلا حللأن نتيجة تعبير القيمة المطلقة يجب أن تكون موجبة.
تدوين الفاصل
لكتابة الحل لمثالنا الرئيسي فيتدوين الفاصل، فكر في شكل الحل على خط الأعداد. كان حلناx> 0 أوx< −2. على خط الأعداد ، هذه نقطة مفتوحة عند 0 ، ويمتد الخط إلى ما لا نهاية موجب ، ونقطة مفتوحة عند −2 ، ويمتد الخط بعيدًا إلى اللانهاية السالبة. تشير هذه الحلول بعيدًا عن بعضها البعض ، وليس تجاه بعضها البعض ، لذا خذ كل قطعة على حدة.
بالنسبة إلى x> 0 على خط الأعداد ، توجد نقطة مفتوحة عند الصفر ثم خط يمتد إلى ما لا نهاية. في تدوين الفترات ، يتم توضيح النقطة المفتوحة بأقواس ، () ، وستستخدم النقطة المغلقة ، أو المتباينات مع أو ، الأقواس ، []. وذلك لx> 0 ، اكتب (0 ، ∞).
النصف الاخر،x
"أو" في تدوين الفاصل هي علامة الاتحاد ، ∪.
إذن الحل في تدوين الفترة هو
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)