يواجه جميع طلاب الرياضيات والعديد من طلاب العلوم كثيرات الحدود في مرحلة ما أثناء دراستهم ، ولكن لحسن الحظ يكون من السهل التعامل معهم بمجرد تعلم الأساسيات. العمليات الرئيسية التي ستحتاج إلى القيام بها مع التعبيرات كثيرة الحدود هي الجمع والطرح والضرب و على الرغم من أن القسمة يمكن أن تكون معقدة ، إلا أنك ستتمكن في معظم الأوقات من التعامل مع الأساسيات يسهل.
كثيرات الحدود: التعريف والأمثلة
متعدد الحدود يصف تعبيرًا جبريًا بمصطلح واحد أو أكثر يتضمن متغيرًا (أو أكثر من واحد) ، مع الأسس وربما الثوابت. لا يمكن أن تتضمن القسمة على متغير ، ولا يمكن أن تحتوي على أس سالب أو كسري ويجب أن تحتوي على عدد محدود من المصطلحات.
يوضح هذا المثال كثير الحدود:
x ^ 3 + 2 x ^ 2-9 x - 4
وهذا يظهر واحدًا آخر:
س ص ^ 2 - 3 س + ص
هناك العديد من الطرق لتصنيف كثيرات الحدود ، بما في ذلك حسب الدرجة (مجموع الأس على مصطلح القوة الأعلى ، على سبيل المثال 3 في المثال الأول) وعدد المصطلحات التي تحتوي عليها ، مثل المونوميرات (مصطلح واحد) ، ذات الحدين (فترتين) وثلاثية الحدود (ثلاثة مصطلحات).
إضافة وطرح كثيرات الحدود
تعتمد إضافة وطرح كثيرات الحدود على دمج مصطلحات "Like". المصطلح المتشابه هو مصطلح له نفس المتغيرات والأسس مثل الآخر ، ولكن العدد الذي يتم ضربه فيه (المعامل) يمكن أن يكون مختلفًا. على سبيل المثال،
أضف كثيرات الحدود بدمج الحدود المتشابهة بنفس الطريقة التي تفعلها مع المصطلحات الجبرية الأخرى. على سبيل المثال ، انظر إلى المشكلة:
(س ^ 3 + 3 س) + (9 س ^ 3 + 2 س + ص)
اجمع الشروط المتشابهة للحصول على:
(س ^ 3 + 9 س ^ 3) + (3 س + 2 س) + ص
ثم قم بالتقييم عن طريق جمع المعامِلات معًا ودمجها معًا في حد واحد:
10 س ^ 3 + 5 س + ص
لاحظ أنه لا يمكنك فعل أي شيء معذلأنه ليس له مصطلح مماثل.
يعمل الطرح بنفس الطريقة:
(4 × ^ 4 + 3 ص ^ 2 + 6 ص) - (2 × ^ 4 + 2 ص ^ 2 + ص)
أولاً ، لاحظ أنه يتم طرح جميع المصطلحات الموجودة في القوس الأيمن من تلك الموجودة في القوس الأيسر ، لذا اكتبها على النحو التالي:
4 × ^ 4 + 3 ص ^ 2 + 6 ص - 2 × ^ 4 - 2 ص ^ 2- ص
اجمع بين المصطلحات المتشابهة وتقييمها لتحصل على:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
لمشكلة مثل هذا:
(4 س ص + س ^ 2) - (6 س ص - 3 س ^ 2)
لاحظ أنه يتم تطبيق علامة الطرح على التعبير بالكامل في القوس الأيمن ، لذا فإن العلامتين السالبتين قبل 3x2 تصبح علامة إضافة:
(4 س ص + س ^ 2) - (6 س ص - 3 س ^ 2) = 4 س ص + س ^ 2-6 س ص + 3 س ^ 2
ثم احسب كما كان من قبل.
ضرب التعبيرات كثيرة الحدود
اضرب التعبيرات كثيرة الحدود باستخدام خاصية التوزيع الخاصة بالضرب. باختصار ، اضرب كل حد في كثير الحدود الأول في كل حد من الحد الثاني. انظر إلى هذا المثال البسيط:
4 × × (2 × ^ 2 + ص)
يمكنك حل هذا باستخدام خاصية التوزيع ، لذلك:
\ تبدأ {محاذاة} 4 × × (2 × ^ 2 + ص) & = (4 × × 2 × ^ 2) + (4 × × ص) \\ & = 8 × ^ 3 + 4 س ص \ نهاية {محاذاة}
تعامل مع المشكلات الأكثر تعقيدًا بنفس الطريقة:
\ ابدأ {محاذاة} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 × ^ 2 + 2 ×)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ نهاية {محاذاة}
يمكن أن تتعقد هذه المشكلات بالنسبة للتجمعات الأكبر ، لكن العملية الأساسية لا تزال كما هي.
قسمة التعبيرات كثيرة الحدود
تستغرق قسمة التعبيرات متعددة الحدود وقتًا أطول ولكن يمكنك معالجتها بخطوات. انظر إلى التعبير:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
أولاً ، اكتب التعبير مثل القسمة المطولة ، بحيث يكون المقسوم عليه على اليسار والمقسوم على اليمين:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
اقسم الحد الأول في المقسوم على الحد الأول في المقسوم عليه ، وضع النتيجة على السطر فوق القسمة. في هذه الحالة،x2 ÷ x = x، وبالتالي:
\ start {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
اضرب هذه النتيجة بالمقسوم عليه بالكامل ، في هذه الحالة (x + 2) × x = x2 + 2 x. ضع هذه النتيجة أسفل التقسيم:
\ start {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
اطرح النتيجة في السطر الجديد من المصطلحات التي تعلوها مباشرةً (لاحظ أنك من الناحية الفنية تغير العلامة ، لذلك إذا كانت لديك نتيجة سلبية ، يمكنك إضافتها بدلاً من ذلك) ، ثم ضع هذا في سطر أسفلها. انقل المصطلح الأخير من المقسوم الأصلي إلى أسفل أيضًا.
\ start {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {align}
الآن كرر العملية مع المقسوم عليه وكثير الحدود الجديد في المحصلة النهائية. لذا اقسم الحد الأول للمقسوم عليه (x) بالمصطلح الأول من المقسوم (−5x) ووضع هذا أعلاه:
\ start {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {align}
اضرب هذه النتيجة (−5x ÷ x= −5) بالمقسوم عليه الأصلي (لذلك (x + 2) × −5 = −5 x−10) ووضع النتيجة على محصلة نهائية جديدة:
\ start {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ نهاية {محاذاة}
ثم اطرح النتيجة النهائية من النقطة التالية لأعلى (لذا في هذه الحالة غيّر العلامة وأضفها) ، ثم ضع النتيجة في خط سفلي جديد:
\ start {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {align}
نظرًا لوجود صف من الأصفار الآن في الجزء السفلي ، فقد انتهت العملية. إذا كانت هناك شروط غير صفرية متبقية ، فستكرر العملية مرة أخرى. النتيجة في السطر العلوي ، لذلك:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
يمكن حل هذا التقسيم وبعض الأقسام الأخرى بسهولة أكبر إذا استطعت عامل كثير الحدود في التوزيعات.