المعادلة التربيعية هي المعادلة التي تحتوي على متغير واحد ويتم فيها تربيع المتغير. الصيغة القياسية لهذا النوع من المعادلات ، والتي تنتج دائمًا القطع المكافئ عند الرسم البياني ، هيفأس2 + bx + ج= 0 أينأ, بوجثوابت. إن إيجاد الحلول ليس مباشرًا كما هو الحال بالنسبة للمعادلة الخطية ، وجزء من السبب هو أنه بسبب الحد التربيعي ، يوجد دائمًا حلان. يمكنك استخدام إحدى الطرق الثلاث لحل معادلة تربيعية. يمكنك تحليل المصطلحات ، والتي تعمل بشكل أفضل مع المعادلات الأبسط ، أو يمكنك إكمال المربع. الطريقة الثالثة هي استخدام الصيغة التربيعية ، وهي حل معمم لكل معادلة تربيعية.
الصيغة التربيعية
للحصول على معادلة تربيعية عامة للشكلفأس2 + bx + ج= 0 ، يتم إعطاء الحلول بهذه الصيغة:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
لاحظ أن علامة ± داخل الأقواس تعني أن هناك دائمًا حلين. أحد الحلول يستخدم
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
ويستخدم الحل الآخر
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
باستخدام الصيغة التربيعية
قبل أن تتمكن من استخدام الصيغة التربيعية ، عليك التأكد من أن المعادلة في الشكل القياسي. قد لا يكون. بعض
x2 قد تكون الحدود على طرفي المعادلة ، لذلك عليك جمع تلك الموجودة على الجانب الأيمن. افعل الشيء نفسه مع جميع حدود وثوابت x.مثال: أوجد حلول المعادلة
3 س ^ 2-12 = 2 س (س -1)
قم بتوسيع الأقواس:
3 س ^ 2 - 12 = 2 س ^ 2 - 2 س
اطرح 2x2 ومن كلا الجانبين. أضف 2xعلى كلا الجانبين
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2-2x ^ 2-2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
هذه المعادلة في شكل قياسيفأس2 + bx + ج= 0 أينأ = 1, ب= −2 وج = 12
الصيغة التربيعية هي
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
حيثأ = 1, ب= −2 وج= −12 ، يصبح هذا
س = \ فارك {- (- 2) ± \ مربع {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \، \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \، \\ x = \ فارك {2 ± 7.21} {2} \\ \، \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {and} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \، \\ x = 4.605 \ text {and} x = −2.605
طريقتان أخريان لحل المعادلات التربيعية
يمكنك حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل. للقيام بذلك ، فإنك تخمن بشكل أو بآخر في زوج من الأرقام ، عند جمعها معًا ، تعطي الثابتبوعند ضربهما معًا ، أعطِ الثابتج. قد تكون هذه الطريقة صعبة عند تضمين الكسور. ولن تعمل بشكل جيد في المثال أعلاه.
الطريقة الأخرى هي إكمال المربع. إذا كان لديك معادلة هي النموذج القياسي ،فأس2 + bx + ج= 0 ، ضعجعلى الجانب الأيمن وإضافة المصطلح (ب/2)2 على كلا الجانبين. هذا يسمح لك بالتعبير عن الجانب الأيسر مثل (x + د)2، أيندثابت. يمكنك بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين وإيجاد قيمةx. مرة أخرى ، من الأسهل حل المعادلة في المثال أعلاه باستخدام الصيغة التربيعية.