الفرق بين الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم هائل. بينما في الميكانيكا الكلاسيكية ، يكون للجسيمات والأشياء مواقع محددة بوضوح ، في ميكانيكا الكم (قبل القياس) أ يمكن القول فقط أن للجسيم مجموعة من المواضع المحتملة ، والتي تم وصفها من حيث الاحتمالات بواسطة الموجة وظيفة.
تحدد معادلة شرودنجر وظيفة الموجة لأنظمة ميكانيكا الكم ، وتعلم كيفية استخدامها وتفسيرها هو جزء مهم من أي دورة في ميكانيكا الكم. أحد أبسط الأمثلة لحل هذه المعادلة هو وجود جسيم في صندوق.
وظيفة الموجة
في ميكانيكا الكم ، يتم تمثيل الجسيم بـ aوظيفة الموجة. يُشار إلى هذا عادةً بالحرف اليوناني psi (Ψ) وتعتمد على كل من الموقع والوقت ، وتحتوي على كل ما يمكن معرفته عن الجسيم.
يخبرك مقياس هذه الدالة التربيعية باحتمال وجود الجسيم في الموضعxفي الوقتر، بشرط أن تكون الوظيفة "طبيعية". هذا يعني فقط تعديلها بحيث يمكن العثور عليها بالتأكيد فيبعضوضعxفي الموعدرعندما يتم تلخيص النتائج في كل موقع ، أي أن حالة التطبيع تقول:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
يمكنك استخدام الدالة الموجية لحساب قيمة التوقع لموضع الجسيم في الوقت المناسبر
، حيث تعني القيمة المتوقعة فقط متوسط القيمة التي ستحصل عليهاxإذا كررت القياس عدة مرات. بالطبع ، هذا لا يعني أنها ستكون النتيجة التي ستحصل عليها لأي قياس معين - أيعلى نحو فعالعشوائي ، على الرغم من أن بعض المواقع عادة ما تكون أكثر احتمالا من غيرها.هناك العديد من الكميات الأخرى التي يمكنك حساب قيم التوقع لها ، مثل قيم الزخم والطاقة ، بالإضافة إلى العديد من "الملاحظات" الأخرى.
معادلة شرودنجر
معادلة شرودنجر هي معادلة تفاضلية تُستخدم لإيجاد قيمة دالة الموجة وقيمة eigenstates لطاقة الجسيم. يمكن اشتقاق المعادلة من حفظ الطاقة والتعبيرات عن الطاقة الحركية والمحتملة للجسيم. أبسط طريقة لكتابتها هي:
H (Ψ) = iℏ \ فارك {\ جزئيΨ} {\ جزئي t}
لكن هناحيمثلعامل هاميلتوني، وهو في حد ذاته تعبير طويل إلى حد ما:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ جزئي ^ 2} {\ جزئي x ^ 2} + V (x)
هنا،مهي الكتلة ، ℏ هو ثابت بلانك مقسومًا على 2π ، والخامس (x) هي وظيفة عامة للطاقة الكامنة للنظام. يتكون هاملتونيان من جزأين متميزين - المصطلح الأول هو الطاقة الحركية للنظام والمصطلح الثاني هو الطاقة الكامنة.
ترتبط كل قيمة يمكن ملاحظتها في ميكانيكا الكم بالمشغل ، وفي النسخة المستقلة عن الوقت من معادلة شرودنغر ، فإن هاميلتوني هو مشغل الطاقة. ومع ذلك ، في الإصدار المعتمد على الوقت الموضح أعلاه ، يولد هاميلتوني التطور الزمني لدالة الموجة أيضًا.
بدمج جميع المعلومات الواردة في المعادلة ، يمكنك وصف تطور الجسيم في المكان والزمان والتنبؤ بقيم الطاقة المحتملة له أيضًا.
معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن
يمكن إزالة الجزء المعتمد على الوقت من المعادلة - لوصف موقف لا يتطور بشكل ملحوظ مع الوقت - عن طريق فصل وظيفة الموجة إلى أجزاء من المكان والزمان:Ψ(x, ر) = Ψ(x) F(ر). يمكن بعد ذلك إلغاء الأجزاء المعتمدة على الوقت من المعادلة ، مما يترك النسخة المستقلة عن الوقت من معادلة شرودنجر:
ح Ψ (س) = ه (Ψ (س))
ههي طاقة النظام. هذا له الشكل الدقيق لمعادلة eigenvalue ، معΨ(x) كونها الوظيفة الذاتية ، وهكونها قيمة eigenvalue ، وهذا هو السبب في أن المعادلة المستقلة عن الوقت تسمى غالبًا معادلة eigenvalue لطاقة نظام ميكانيكي الكم. يتم إعطاء وظيفة الوقت ببساطة من خلال:
و (ر) = ه ^ {- iEt / ℏ}
تعتبر المعادلة المستقلة عن الوقت مفيدة لأنها تبسط العمليات الحسابية للعديد من المواقف التي لا يكون فيها تطور الوقت أمرًا بالغ الأهمية. هذا هو الشكل الأكثر فائدة لمشاكل "الجسيم في الصندوق" وحتى لتحديد مستويات الطاقة للإلكترونات حول الذرة.
الجسيمات في صندوق (بئر مربع لانهائي)
أحد أبسط الحلول لمعادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن هو الجسيم في بئر مربعة عميقة بشكل لا نهائي (أي بئر محتملة غير محدودة) ، أو صندوق أحادي البعد من القاعدة الطولإل. بالطبع ، هذه أمثلة نظرية ، لكنها تعطي فكرة أساسية عن كيفية حل معادلة شرودنجر دون مراعاة العديد من التعقيدات الموجودة في الطبيعة.
مع ضبط الطاقة الكامنة على 0 خارج البئر حيث تكون كثافة الاحتمال 0 أيضًا ، تصبح معادلة شرودنجر لهذه الحالة:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
والحل العام لمعادلة من هذا الشكل هو:
Ψ (س) = أ خطيئة (ك س) + ب جا كوس (ك س)
ومع ذلك ، فإن النظر إلى شروط الحدود يمكن أن يساعد في تضييق هذا الأمر. لx= 0 وx= L ، أي جوانب الصندوق أو جدران البئر ، يجب أن تذهب الدالة الموجية إلى الصفر. دالة جيب التمام لها قيمة 1 عندما تكون الوسيطة 0 ، لذلك لكي تتحقق شروط الحدود ، يكون الثابتبيجب أن يساوي الصفر. هذه الأوراق:
Ψ (س) = أ الخطيئة (ككس)
يمكنك أيضًا استخدام شروط الحدود لتعيين قيمة لـك. بما أن دالة الخطيئة تذهب إلى الصفر عند القيمنπ حيث عدد الكمن= 0 ، 1 ، 2 ، 3... وهكذا ، هذا يعني متىx = إل، لن تعمل المعادلة إلا إذاك = نπ / إل. أخيرًا ، يمكنك استخدام حقيقة أنه يجب تسوية الدالة الموجية لإيجاد قيمةأ(تتكامل عبر كل ما هو ممكنxالقيم ، أي من 0 إلىإل، ثم قم بتعيين النتيجة مساوية لـ 1 وإعادة الترتيب) ، للوصول إلى التعبير النهائي:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
باستخدام المعادلة الأصلية وهذه النتيجة ، يمكنك بعد ذلك حلهاه، الذي يحصد:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
لاحظ أن حقيقة أننفي هذا التعبير يعني أن مستويات الطاقةمحددة، لذلك لا يمكنهم أخذهاأيالقيمة ، ولكن فقط مجموعة منفصلة من قيم مستوى الطاقة المحددة اعتمادًا على كتلة الجسيم وطول الصندوق.
الجسيمات في صندوق (بئر مربع منتهي)
تصبح المشكلة نفسها أكثر تعقيدًا إذا كان للبئر المحتمل ارتفاع جدار محدود. على سبيل المثال ، إذا كانت الإمكانياتالخامس (x) يأخذ القيمةالخامس0 خارج البئر المحتمل و 0 بداخله ، يمكن تحديد الدالة الموجية في المناطق الرئيسية الثلاث التي تغطيها المشكلة. هذه عملية أكثر تعقيدًا ، لذلك هنا ستتمكن فقط من رؤية النتائج بدلاً من تشغيل العملية بأكملها.
إذا كان البئر فيx= 0 إلىx = إلمرة أخرى ، للمنطقة حيثx<0 الحل هو:
Ψ (x) = كن ^ {kx}
للمنطقةx > إل، أنه:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
أين
ك = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
للمنطقة داخل البئر حيث 0 <x < إل، الحل العام هو:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
أين
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
يمكنك بعد ذلك استخدام شروط الحدود لتحديد قيم الثوابتأ, ب, جود، مع ملاحظة أنه بالإضافة إلى وجود قيم محددة على جدران البئر ، يجب أن تكون الدالة الموجية ومشتقاتها الأولى مستمرة في كل مكان ، ويجب أن تكون الدالة الموجية محدودة في كل مكان.
في حالات أخرى ، مثل الصناديق الضحلة والصناديق الضيقة والعديد من المواقف المحددة الأخرى ، هناك تقديرات تقريبية وحلول مختلفة يمكنك العثور عليها.