معادلة شرودنجر هي المعادلة الأساسية في ميكانيكا الكم ، وتعلم كيفية استخدامها وما تعنيه أمر ضروري لأي فيزيائي ناشئ. تمت تسمية المعادلة على اسم إروين شرودنغر ، الذي فاز بجائزة نوبل مع بول ديراك في عام 1933 لمساهماتهم في فيزياء الكم.
تصف معادلة شرودنجر الدالة الموجية لنظام ميكانيكي الكم ، وهذا يعطي معلومات احتمالية حول موقع الجسيم والكميات الأخرى التي يمكن ملاحظتها مثل جسيمها قوة الدفع. أهم شيء ستدركه حول ميكانيكا الكم بعد التعرف على المعادلة هو أن القوانين في عالم الكم هيمختلف جدامن الميكانيكا الكلاسيكية.
وظيفة الموجة
تعتبر الدالة الموجية من أهم المفاهيم في ميكانيكا الكم ، لأن كل جسيم يمثله دالة موجية. عادة ما يتم إعطاؤه الحرف اليوناني psi (Ψ) ، ويعتمد ذلك على الموقع والوقت. عندما يكون لديك تعبير للدالة الموجية لجسيم ما ، فإنه يخبرك بكل ما يمكن معرفته النظام المادي ، وقيم مختلفة للكميات التي يمكن ملاحظتها من خلال تطبيق عامل على هو - هي.
يخبرك مربع مقياس الدالة الموجية باحتمال إيجاد الجسيم في موضع ماxفي وقت معينر. هذا هو الحال فقط إذا كانت الوظيفة "طبيعية" ، مما يعني أن مجموع معامل المربع في جميع المواقع الممكنة يجب أن يساوي 1 ، أي أن الجسيمتأكيديتم تحديد موقعمكان ما.
لاحظ أن الدالة الموجية توفر فقط معلومات احتمالية ، وبالتالي لا يمكنك التنبؤ بنتيجة أي ملاحظة واحدة ، على الرغم من أنكتستطيعتحديد المتوسط على العديد من القياسات.
يمكنك استخدام الدالة الموجية لحساب"قيمة التوقع"لموضع الجسيم في الوقت المناسبر، مع قيمة التوقع هي متوسط قيمةxستحصل إذا كررت القياس عدة مرات.
مرة أخرى ، هذا لا يخبرك بأي شيء عن قياس معين. في الواقع ، دالة الموجة هي توزيع احتمالي لجسيم واحد أكثر من أي شيء ملموس وموثوق. باستخدام عامل التشغيل المناسب ، يمكنك أيضًا الحصول على قيم توقع للزخم والطاقة والكميات الأخرى التي يمكن ملاحظتها.
معادلة شرودنجر
معادلة شرودنجر هي معادلة تفاضلية جزئية خطية تصف تطور أ الحالة الكمومية بطريقة مشابهة لقوانين نيوتن (القانون الثاني على وجه الخصوص) في الكلاسيكية علم الميكانيكا.
ومع ذلك ، فإن معادلة شرودنجر هي معادلة موجية لوظيفة الموجة للجسيم المعني ، وبالتالي فإن استخدام المعادلة للتنبؤ بالحالة المستقبلية نظام يسمى أحيانًا "ميكانيكا الموجة". المعادلة نفسها مشتقة من الحفاظ على الطاقة وهي مبنية حول عامل يسمى هاميلتوني.
أبسط شكل من أشكال معادلة شرودنجر تدوينه هو:
H Ψ = iℏ \ فارك {\ جزئيΨ} {\ جزئي t}
أين ℏ هو ثابت بلانك المختزل (أي الثابت مقسومًا على 2π) وحهو المشغل الهاميلتوني ، والذي يتوافق مع مجموع الطاقة الكامنة والطاقة الحركية (الطاقة الكلية) للنظام الكمومي. هاميلتوني هو تعبير طويل إلى حد ما ، لذلك يمكن كتابة المعادلة الكاملة على النحو التالي:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ جزئي ^ 2 Ψ} {\ جزئي x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ جزئيΨ} {\ جزئي t}
مع ملاحظة أنه في بعض الأحيان (بالنسبة للمشكلات ثلاثية الأبعاد بشكل صريح) ، يتم كتابة المشتق الجزئي الأول كعامل Laplacian ∇2. بشكل أساسي ، يعمل هاميلتوني على وظيفة الموجة ليصف تطورها في المكان والزمان. ولكن في النسخة المستقلة عن الوقت من المعادلة (أي عندما لا يعتمد النظام علىر) ، يعطي هاميلتوني طاقة النظام.
حل معادلة شرودنجر يعني إيجاددالة الموجة الميكانيكية الكميرضيها لحالة معينة.
معادلة شرودنجر التي تعتمد على الوقت
معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت هي النسخة المأخوذة من القسم السابق ، وهي تصف تطور الدالة الموجية لجسيم ما في الزمان والمكان. هناك حالة بسيطة يجب مراعاتها وهي الجسيم الحر بسبب الطاقة الكامنةالخامس= 0 ، والحل يأخذ شكل موجة مستوية. هذه الحلول لها الشكل:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
أينك = 2π / λ, λهو الطول الموجي ، وω = ه / ℏ.
بالنسبة للحالات الأخرى ، يصف جزء الطاقة الكامنة من المعادلة الأصلية الشروط الحدودية لـ الجزء المكاني من الدالة الموجية ، وغالبًا ما يتم فصله إلى وظيفة تطور الوقت ودالة مستقلة عن الوقت معادلة.
معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن
بالنسبة للمواقف أو الحلول الثابتة التي تشكل موجات واقفة (مثل البئر المحتمل ، حلول نمط "الجسيمات في صندوق") ، يمكنك فصل الدالة الموجية إلى أجزاء من الزمن والمكان:
Ψ (س ، ر) = Ψ (س) و (ر)
عندما تمر بهذا بالكامل ، يمكن إلغاء جزء الوقت ، تاركًا نموذجًا من معادلة شرودنجرفقطيعتمد على موضع الجسيم. ثم يتم إعطاء دالة الموجة المستقلة عن الوقت بواسطة:
ح Ψ (س) = ه (س)
هناههي طاقة نظام ميكانيكا الكم ، وحهو عامل تشغيل هاميلتوني. يأخذ هذا الشكل من المعادلة الشكل الدقيق لمعادلة القيمة الذاتية ، مع دالة الموجة كونها دالة ذاتية ، والطاقة هي القيمة الذاتية عند تطبيق عامل هاميلتوني إليها. بتوسيع هاملتونيان إلى شكل أكثر وضوحًا ، يمكن كتابته بالكامل على النحو التالي:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ جزئي ^ 2 Ψ} {\ جزئي x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
يتم تضمين الجزء الزمني من المعادلة في الوظيفة:
و (ر) = ه ^ {\ فارك {iEt} {ℏ}}
حلول معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن
معادلة شرودنجر المستقلة عن الوقت تفسح المجال بشكل جيد للحلول المباشرة إلى حد ما لأنها تقلل الشكل الكامل للمعادلة. وخير مثال على ذلك هو مجموعة الحلول "الجسيم في صندوق" حيث يُفترض أن يكون الجسيم في بئر مربع محتمل لانهائي في بُعد واحد ، لذلك لا يوجد احتمال (أي.الخامس= 0) طوال الوقت ، ولا توجد فرصة لوجود الجسيم خارج البئر.
هناك أيضًا بئر مربعة محدودة ، حيث تكون الإمكانات عند "جدران" البئر غير محدودة ، وحتى إذا كانت أعلى من طاقة الجسيم ، فهناكبعضإمكانية العثور على الجسيم خارجه بسبب النفق الكمومي. بالنسبة للبئر المحتمل اللامحدود ، تتخذ الحلول الشكل:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
أينإلهو طول البئر.
تعد دالة دالة دلتا مفهومًا مشابهًا جدًا للبئر المحتمل ، باستثناء العرضإلالذهاب إلى الصفر (أي أن تكون متناهية الصغر حول نقطة واحدة) وعمق البئر يذهب إلى ما لا نهاية ، بينما حاصل ضرب الاثنين (يو0) لا يزال ثابتًا. في هذا الوضع المثالي للغاية ، هناك حالة ملزمة واحدة ، يتم تقديمها من خلال:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
مع الطاقة:
E = - \ فارك {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
محلول ذرة الهيدروجين لمعادلة شرودينجر
أخيرًا ، يحتوي محلول ذرة الهيدروجين على تطبيقات واضحة لفيزياء العالم الحقيقي ، ولكن في الواقع العملي للإلكترون حول نواة ذرة الهيدروجين يمكن أن يُنظر إليه على أنه مشابه جدًا لبئر الجهد مشاكل. ومع ذلك ، فإن الوضع ثلاثي الأبعاد وأفضل وصف له في الإحداثيات الكرويةص, θ, ϕ. يتم تقديم الحل في هذه الحالة من خلال:
Ψ (x) = NR_ {n، l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
أينصهي كثيرات حدود Legendre ،صهي حلول شعاعية محددة ، ونهو ثابت تقوم بإصلاحه باستخدام حقيقة أنه يجب تطبيع الدالة الموجية. تعطي المعادلة مستويات الطاقة المعطاة من خلال:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
أينضهذا هو العدد الذري (هكذاض= 1 لذرة الهيدروجين) ،هفي هذه الحالة هي شحنة الإلكترون (وليس الثابته = 2.7182818...), ϵ0 هي سماحية المساحة الحرة ، وμهي الكتلة المختزلة ، والتي تعتمد على كتلة البروتون والإلكترون في ذرة الهيدروجين. هذا التعبير جيد لأي ذرة شبيهة بالهيدروجين ، مما يعني أي حالة (بما في ذلك الأيونات) حيث يوجد إلكترون واحد يدور حول نواة مركزية.