يعد تكامل الوظائف أحد التطبيقات الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. في بعض الأحيان ، يكون هذا واضحًا ، كما في:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
في مثال معقد نسبيًا من هذا النوع ، يمكنك استخدام نسخة من الصيغة الأساسية لدمج التكاملات غير المحددة:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
أينأوجثوابت.
وهكذا في هذا المثال ،
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
تكامل وظائف الجذر التربيعي الأساسية
ظاهريًا ، يعد دمج دالة الجذر التربيعي أمرًا محرجًا. على سبيل المثال ، قد تكون في وضع حرج بسبب:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
لكن يمكنك التعبير عن جذر تربيعي في صورة أس ، 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
وبالتالي يصبح التكامل:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
حيث يمكنك تطبيق الصيغة المعتادة أعلاه:
\ start {align} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {align}
تكامل وظائف الجذر التربيعي الأكثر تعقيدًا
في بعض الأحيان ، قد يكون لديك أكثر من مصطلح واحد تحت علامة الجذر ، كما في هذا المثال:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
يمكنك استخدامش-الاستبدال للمتابعة. هنا ، قمت بتعيينشتساوي الكمية في المقام:
u = \ sqrt {x - 3}
حل هذا لxبتربيع كلا الجانبين وطرح:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
هذا يسمح لك بالحصول على dx من حيثشبأخذ مشتقx:
dx = (2u) du
استبدال التكامل الأصلي يعطي
\ تبدأ {محاذاة} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {align}
يمكنك الآن دمج هذا باستخدام الصيغة الأساسية والتعبيرشمن ناحيةx:
\ start {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {align}