يتذكر معظم الناس ملفنظرية فيثاغورسمن هندسة المبتدئين - إنها كلاسيكية. إنه
أ ^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2
أينأ, بوجهي أضلاع المثلث القائم (جهو الوتر). حسنًا ، يمكن أيضًا إعادة كتابة هذه النظرية لعلم المثلثات!
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
متطابقات فيثاغورس هي معادلات تكتب نظرية فيثاغورس بدلالة وظائف حساب المثلثات.
الرئيسيةهويات فيثاغورسنكون:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
هويات فيثاغورس هي أمثلة علىالهويات المثلثية: المساواة (المعادلات) التي تستخدم الدوال المثلثية.
لماذا يهم؟
يمكن أن تكون متطابقات فيثاغورس مفيدة جدًا في تبسيط الجمل المثلثية المعقدة والمعادلات. احفظها الآن ، ويمكنك توفير الكثير من الوقت على الطريق!
إثبات باستخدام تعريفات وظائف حساب المثلثات
هذه الهويات بسيطة جدًا لإثباتها إذا فكرت في تعريفات وظائف حساب المثلثات. على سبيل المثال ، دعنا نثبت ذلك
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
تذكر أن تعريف الجيب هو الضلع المقابل / الوتر ، وأن جيب التمام هو الضلع المجاور / الوتر.
وبالتالي
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {الجهة المقابلة} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
و
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {المجاور} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
يمكنك بسهولة جمع هذين معًا لأن المقامان متماثلان.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {المقابل} ^ 2 + \ text {المجاور} ^ 2} {\ text {الوتر} ^ 2}
الآن ألق نظرة أخرى على نظرية فيثاغورس. هذا ما تقولهأ2 + ب2 = ج2. لا تنسىأوبالوقوف على الضلع المقابل والمجاور ، وجلتقف على الوتر.
يمكنك إعادة ترتيب المعادلة بقسمة كلا الطرفين علىج2:
أ ^ 2 + ب ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
حيثأ2 وب2 هي الضلع المقابل والمتجاورة وج2 هو الوتر ، لديك بيان مكافئ للوارد أعلاه ، مع (المقابل2 + المجاور2) / وتر المثلث2. وبفضل العمل معأ, ب, جونظرية فيثاغورس ، يمكنك الآن رؤية هذه العبارة تساوي 1!
وبالتالي
\ frac {\ text {المقابل} ^ 2 + \ text {المجاور} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
وبالتالي:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(ومن الأفضل كتابتها بشكل صحيح: الخطيئة2(θ) + كوس2(θ) = 1).
الهويات المتبادلة
دعنا نقضي بضع دقائق في النظر إلى ملفالهويات المتبادلةكذلك. تذكر أن ملفمتبادلهو واحد مقسومًا على ("over") رقمك - يُعرف أيضًا بالمقلوب.
بما أن قاطع التمام هو مقلوب الجيب:
\ csc (θ) = \ فارك {1} {\ sin (θ)}
يمكنك أيضًا التفكير في قاطع التمام باستخدام تعريف الجيب. على سبيل المثال ، الجيب = الجانب المقابل / الوتر. سيكون معكوس ذلك الكسر المقلوب رأسًا على عقب ، وهو الوتر / الضلع المقابل.
وبالمثل ، فإن مقلوب جيب التمام قاطع ، لذلك يتم تعريفه على أنه
\ ثانية (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {or} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {الجانب المجاور}}
ومقلوب الظل ظل التمام ، لذلك
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {الجانب المجاور}} {\ text {الجانب المقابل}}
البراهين على هويات فيثاغورس باستخدام القاطع وجيب التمام مشابهة جدا لتلك الخاصة بالجيب وجيب التمام. يمكنك أيضًا اشتقاق المعادلات باستخدام المعادلة "الأصل" ، الخطيئة2(θ) + كوس2(θ) = 1. اقسم كلا الطرفين على cos2(θ) للحصول على الهوية 1 + تان2(θ) = ثانية2(θ). اقسم كلا الجانبين على الخطيئة2(θ) للحصول على الهوية 1 + cot2(θ) = CSC2(θ).
حظًا سعيدًا وتأكد من حفظ هويات فيثاغورس الثلاثة!