كيف تحل مثلثات قائم الزاوية الخاصة

في الرياضيات والهندسة ، تعتبر معرفة الحيل والاختصارات إحدى المهارات التي تميز الخبراء عن الأطفال التخيليين. الوقت الذي تقضيه في تعلمها يؤتي ثماره في الوقت الذي يتم توفيره عند حل المشكلات. على سبيل المثال ، من المفيد معرفة مثلثين قائمين خاصين ، بمجرد التعرف عليهم ، يصبح من السهل حلهم. المثلثان على وجه الخصوص هما 30-60-90 و45-45-90.

TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)

مثلثان قائمان خاصان لهما زوايا داخلية 30 ، و 60 ، و 90 درجة ، و 45 ، و 45 ، و 90 درجة.

المثلثات عبارة عن مضلعات ثلاثية الجوانب تضيف زواياها الداخلية 180 درجة. المثلث القائم الزاوية هو حالة خاصة تكون فيها إحدى زاويتين 90 درجة ، لذا يجب أن يكون مجموع الزاويتين الأخريين بحكم التعريف ما يصل إلى 90. توفر الدوال الجيب وجيب التمام والظل وغيرها من الدوال المثلثية طرقًا لحساب الزوايا الداخلية للمثلثات القائمة وكذلك طول أضلاعها. أداة حساب أخرى لا غنى عنها للمثلثات القائمة هي نظرية فيثاغورس ، والتي تنص على ذلك أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الاثنين الآخرين الجوانب ، أو

عندما تعمل على أي نوع من مسائل المثلث القائم الزاوية ، عادة ما يتم إعطاؤك زاوية واحدة وضلعًا واحدًا على الأقل ويُطلب منك حساب الزوايا والأضلاع المتبقية. باستخدام صيغة فيثاغورس أعلاه ، يمكنك حساب طول أي ضلع إذا أعطيت الضلعين الآخرين. من المزايا الكبيرة للمثلثات القائمة على اليمين أن نسب أطوال أضلاعها هي نفسها دائمًا ، لذا يمكنك إيجاد أطوال كل الأضلاع إذا أعطيت لك واحدًا فقط. أيضًا ، إذا تم إعطاؤك جانبًا واحدًا فقط ، وكان المثلث خاصًا ، يمكنك العثور على قيم الزوايا أيضًا.

كما يوحي الاسم ، فإن المثلث الأيمن 30-60-90 له زوايا داخلية 30 و 60 و 90 درجة. نتيجة لذلك ، تقع أضلاع هذا المثلث في النسب ، 1: 2: √3 ، حيث 1 و 3 هما طولا الضلع المقابل والمجاور و 2 هو الوتر. تتوافق هذه الأرقام دائمًا معًا: إذا قمت بحل جوانب مثلث قائم الزاوية ووجدت أنها تناسب النموذج ، 1 ، 2 ، √3 ، فأنت تعلم أن الزوايا ستكون 30 و 60 و 90 درجة. وبالمثل ، إذا أعطيت إحدى الزوايا 30 ، فأنت تعلم أن الزاويتين الأخريين هما 60 و 90 ، وأيضًا أن الجانبين سيكون لهما النسب ، 1: 2: √3.

يعمل المثلث 45-45-90 بشكل مشابه جدًا للمثلث 30-60-90 ، باستثناء أن زاويتين متساويتين ، وكذلك الضلعان المقابل والمجاوران. زواياها الداخلية 45 و 45 و 90 درجة. نسب أضلاع المثلث هي 1: 1: 2 ، مع كون نسبة الوتر √2. الضلعان الآخران متساويان في الطول. إذا كنت تعمل على مثلث قائم الزاوية وكانت إحدى الزوايا الداخلية 45 درجة ، فأنت تعلم في على الفور أن تكون الزاوية المتبقية أيضًا 45 درجة ، لأن مجموع المثلث كله يجب أن يصل إلى 180 درجات.

عند حل المثلثين القائمين الخاصين ، ضع في اعتبارك أنهماالنسبمن الجوانب المهمة ، وليس قياسها من حيث القيمة المطلقة. على سبيل المثال ، المثلث له أضلاعه قياس قدم واحد وقدم واحد و and 2 قدم ، لذا فأنت تعلم أنه مثلث 45-45-90 وزواياه الداخلية 45 و 45 و 90 درجة.

لكن ماذا تفعل بمثلث قائم طول ضلعه 17 قدمًا و 17 قدمًا؟ نسب الجوانب هي المفتاح. نظرًا لأن الضلعين متطابقان ، فإن النسبة هي 1: 1 مع بعضهما البعض ، ولأنه مثلث قائم الزاوية ، فإن نسبة الوتر هي 1: √2 مع أي من الضلعين الآخرين. تشير النسب المتساوية إلى أن الأضلاع هي 1 ، 1 ، 2 ، والتي تنتمي فقط إلى المثلث الخاص 45-45-90. لإيجاد الوتر ، اضرب √17 في √2 لتحصل على 34 قدمًا.