كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر بين عددين

العثور على العامل المشترك الأكبر ، أو GCF ، لرقمين مفيد في العديد من المواقف في الرياضيات ، ولكن بشكل خاص عندما يتعلق الأمر بتبسيط الكسور. إذا كنت تكافح مع هذا أو تجد قواسم مشتركة ، فإن تعلم طريقتين لإيجاد العوامل المشتركة سيساعدك على تحقيق ما تنوي القيام به. أولاً ، مع ذلك ، من الجيد التعرف على أساسيات العوامل ؛ بعد ذلك ، يمكنك النظر إلى طريقتين لإيجاد العوامل المشتركة. أخيرًا ، يمكنك إلقاء نظرة على كيفية تطبيق معرفتك لتبسيط الكسر.

العوامل هي الأرقام التي تضربها معًا لإنتاج رقم آخر. على سبيل المثال ، 2 و 3 عوامل للعدد 6 ، لأن 2 × 3 = 6. بالمثل ، 3 و 3 عاملان للعدد 9 ، لأن 3 × 3 = 9. كما تعلم ، الأعداد الأولية هي الأعداد التي ليس لها عوامل أخرى غير نفسها و 1. إذن ، 3 هو عدد أولي ، لأن العددين الكاملين (الأعداد الصحيحة) التي يمكن ضربهما معًا للحصول على 3 كإجابة هما 3 و 1. بالطريقة نفسها ، 7 عدد أولي ، وكذلك 13.

لهذا السبب ، غالبًا ما يكون من المفيد تقسيم الرقم إلى "عوامل أولية". هذا يعني إيجاد جميع عوامل الأعداد الأولية لعدد آخر. يقوم بشكل أساسي بتقسيم الرقم إلى "اللبنات الأساسية" ، وهي خطوة مفيدة نحو ذلك إيجاد العامل المشترك الأكبر لعددين وهو أيضًا لا يقدر بثمن عندما يتعلق الأمر بتبسيط التربيع الجذور.

إن أبسط طريقة لإيجاد أكبر عامل مشترك لرقمين هي ببساطة سرد جميع عوامل كل رقم والبحث عن أكبر رقم يشترك فيه كلاهما. تخيل أنك تريد إيجاد العامل المشترك الأكبر بين 45 و 60. أولاً ، انظر إلى الأعداد المختلفة التي يمكنك ضربها معًا للحصول على 45.

أسهل طريقة للبدء هي باستخدام الاثنين الذي تعرف أنه سينجح ، حتى مع عدد أولي. في هذه الحالة ، نعلم أن 1 × 45 = 45 ، لذلك نعلم أن 1 و 45 عاملان من عوامل العدد 45. هذان هما العاملان الأول والأخير للعدد 45 ، لذا يمكنك ملء البيانات من هناك. بعد ذلك ، احسب ما إذا كان 2 عاملًا. هذا سهل ، لأن أي رقم زوجي سوف يقبل القسمة على 2 ، وأي رقم فردي لا يقبل القسمة. فنحن نعلم أن 2 ليس عاملًا للعدد 45. ماذا عن 3؟ يجب أن تكون قادرًا على اكتشاف أن 3 هو عامل 45 ، لأن 3 × 15 = 45 (يمكنك دائمًا البناء على ما تعلم كيفية حل ذلك ، على سبيل المثال ، ستعرف أن 3 × 12 = 36 ، وإضافة الثلاثات إلى هذا يقودك إلى 45).

بعد ذلك ، هل 4 هو العامل 45؟ لا - أنت تعرف أن 11 × 4 = 44 ، لذلك لا يمكن أن تكون كذلك! بعد ذلك ، ماذا عن 5؟ هذا رقم سهل آخر ، لأن أي رقم ينتهي بـ 0 أو 5 يقبل القسمة على 5. وبهذا ، يمكنك بسهولة تحديد أن 5 × 9 = 45. لكن 6 ليس جيدًا لأن 7 × 6 = 42 و 8 × 6 = 48. من هذا يمكنك أيضًا أن ترى أن 7 و 8 ليسا عاملين للقيمة 45. نحن نعلم بالفعل أن الرقم 9 هو ، ومن السهل أن نرى أن 10 و 11 ليسا عاملين. استمر في هذه العملية ، وستجد أن الرقم 15 عامل ، لكن لا شيء آخر.

إذن عوامل العدد 45 هي: 1 و 3 و 5 و 9 و 15 و 45.

بالنسبة لـ 60 ، تقوم بتشغيل نفس العملية بالضبط. هذه المرة الرقم زوجي (لذا تعرف أن 2 عامل) وقابل للقسمة على 10 (لذا فإن 5 و 10 كلاهما عاملين) ، مما يجعل الأمور أسهل قليلاً. بعد إجراء العملية مرة أخرى ، يجب أن ترى أن عوامل 60 هي: 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 10 و 12 و 15 و 20 و 30 و 60.

توضح المقارنة بين القائمتين أن 15 هو العامل المشترك الأكبر بين 45 و 60. قد تستغرق هذه الطريقة وقتًا طويلاً ، ولكنها بسيطة وستعمل دائمًا. يمكنك أيضًا البدء بأي عامل مشترك كبير يمكنك تحديده على الفور ، ثم ابحث ببساطة عن عوامل أعلى لكل رقم.

الطريقة الثانية لإيجاد العامل المشترك الأكبر لرقمين هي استخدام العوامل الأولية. عملية التحليل الأولي أسهل قليلاً وأكثر تنظيماً من إيجاد كل عامل. فلنستعرض العملية على مدار 42 و 63.

تتضمن عملية التحليل الأولي بشكل أساسي تقسيم الرقم إلى أسفل حتى يتبقى لك الأعداد الأولية فقط. من الأفضل البدء بأصغر عدد أولي (اثنان) والعمل من هناك. لذلك ، بالنسبة إلى 42 ، من السهل رؤية 2 × 21 = 42. ثم اعمل من 21: هل 2 عاملا؟ رقم 3؟ نعم! 3 × 7 = 21 ، و 3 و 7 عددان أوليان. هذا يعني أن العوامل الأولية للعدد 42 هي 2 و 3 و 7. استخدم "الكسر" الأول 2 للوصول إلى 21 ، والثاني قسم هذا إلى 3 و 7. يمكنك التحقق من ذلك بضرب كل العوامل معًا والتحقق من حصولك على الرقم الأصلي: 2 × 3 × 7 = 42.

بالنسبة إلى 63 ، 2 ليس عاملاً ، لكن 3 كذلك ، لأن 3 × 21 = 63. مرة أخرى ، ينقسم الرقم 21 إلى 3 و 7 - كلاهما أولي - حتى تعرف العوامل الأولية! يظهر الفحص أن 3 × 3 × 7 = 63 ، كما هو مطلوب.

يمكنك إيجاد العامل المشترك الأكبر بالنظر إلى العوامل الأولية المشتركة بين العددين. في هذه الحالة ، 42 بها 2 و 3 و 7 ، و 63 بها 3 و 3 و 7. لديهم 3 و 7 القواسم المشتركة. لإيجاد العامل المشترك الأكبر ، اضرب كل العوامل الأولية المشتركة معًا. في هذه الحالة ، 3 × 7 = 21 ، إذن 21 هو العامل المشترك الأكبر بين 42 و 63.

يمكن حل المثال السابق بسرعة أكبر بهذه الطريقة أيضًا. نظرًا لأن 45 يقبل القسمة على ثلاثة (3 × 15 = 45) ، و 15 يقبل القسمة أيضًا على ثلاثة (3 × 5 = 15) ، فإن العوامل الأولية للعدد 45 هي 3 و 3 و 5. بالنسبة إلى 60 ، فإنه يقبل القسمة على اثنين (2 × 30 = 60) ، و 30 يقبل القسمة على اثنين أيضًا (2 × 15 = 30) ، ثم يتبقى لك 15 ، والتي نعلم أن بها ثلاثة وخمسة كعوامل أولية ، ترك 2 و 2 و 3 و 5. بمقارنة القائمتين ، فإن ثلاثة وخمسة هما العاملان الأوليان المشتركان ، لذا فإن العامل المشترك الأكبر هو 3 × 5 = 15.

في حالة وجود ثلاثة عوامل أولية مشتركة أو أكثر ، يمكنك ضربهم جميعًا معًا بنفس الطريقة لإيجاد العامل المشترك الأكبر.

إذا تم تقديم كسر مثل 32/96 ، فيمكنه إجراء أي حسابات تأتي بعده معقدة للغاية ما لم تتمكن من تحديد طريقة لتبسيط الكسر. سيخبرك إيجاد العامل المشترك الأصغر بين 32 و 96 بالعدد المطلوب القسمة عليه للحصول على كسر أبسط. في هذه الحالة:

بالنسبة لـ 96 ، تعطي العملية:

يجب أن يكون واضحًا أن 2⁵ = 32 هو العامل المشترك الأكبر. حاصل قسمة جزأي الكسر على 32:

العثور على قواسم مشتركة عملية مماثلة. تخيل أنه كان عليك جمع الكسور 15/45 و 40/60. نعلم من المثال الأول أن 15 هو العامل المشترك الأكبر بين 45 و 60 ، لذلك يمكننا التعبير عنها فورًا بالرمز 5/15 و 10/15. بما أن 3 × 5 = 15 ، وكلا البسطين قابلين للقسمة أيضًا على خمسة ، يمكننا قسمة كلا الجزأين من كلا الكسرين على خمسة للحصول على 1/3 و 2/3. الآن أصبح من الأسهل بكثير إضافة ورؤية ذلك