هل تساءلت يومًا كيف ترتبط الدوال المثلثية مثل الجيب وجيب التمام؟ كلاهما يستخدم لحساب الأضلاع والزوايا في المثلثات ، لكن العلاقة أبعد من ذلك.هويات الوظيفة المشتركةتعطينا الصيغ المحددة التي توضح كيفية التحويل بين الجيب وجيب التمام ، والظل والظل ، والقاطع وجيب التمام.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
جيب الزاوية يساوي جيب تمام مكملها والعكس صحيح. هذا صحيح بالنسبة للوظائف المشتركة الأخرى أيضًا.
طريقة سهلة لتذكر الوظائف المشتركة هي أن وظيفتي حساب المثلثات هماالوظائف المشتركةإذا كان لأحدهم البادئة "co-" أمامه. وبالتالي:
- شرط وشاركهي شرطشاركالمهام.
- ظل وشاركالظل هيشاركالمهام.
- قاطع وشاركالقاطع هيشاركالمهام.
يمكننا أن نحسب ذهابًا وإيابًا بين الدوال المشتركة باستخدام هذا التعريف: قيمة دالة زاوية تساوي قيمة الدالة المشتركة للمكمل.
يبدو هذا معقدًا ، ولكن بدلاً من الحديث عن قيمة الوظيفة بشكل عام ، دعنا نستخدم مثالًا محددًا. الشرطمن زاوية يساويجيب التماممن مكملته. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المشتركة الأخرى: ظل الزاوية يساوي ظل التمام لمكملها.
تذكر: زاويتانيكملإذا كانت تضيف ما يصل إلى 90 درجة.
هويات الوظيفة المشتركة بالدرجات:
(لاحظ أن 90 درجة -xيعطينا مكمل الزاوية.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
متطابقات الوظيفة المشتركة بالراديان
تذكر أنه يمكننا أيضًا كتابة الأشياء بدلالةراديان، وهي وحدة SI لقياس الزوايا. تسعون درجة هي نفسها π / 2 راديان ، لذا يمكننا أيضًا كتابة متطابقات الوظيفة المشتركة مثل هذا:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \، \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \، \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \، \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \، \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \، \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ بيج)
إثبات هوية الوظيفة المشتركة
كل هذا يبدو لطيفًا ، لكن كيف يمكننا إثبات صحة ذلك؟ يمكن أن يساعدك اختبارها بنفسك على مثالين من المثلثات على الشعور بالثقة حيال ذلك ، ولكن هناك دليل جبري أكثر صرامة أيضًا. دعنا نثبت متطابقات دالة مشتركة للجيب وجيب التمام. سنعمل بالراديان ، لكن الأمر مماثل لاستخدام الدرجات.
دليل:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
بادئ ذي بدء ، عد إلى هذه الصيغة في ذاكرتك ، لأننا سنستخدمها في إثباتنا:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
فهمتك؟ نعم. الآن دعنا نثبت: الخطيئة (x) = كوس (π / 2 - س).
يمكننا إعادة كتابة cos (π / 2 -x) مثله:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \، \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( خ)
لأننا نعلم
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {and} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
وبالتالي
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
تا دا! الآن دعنا نثبت ذلك بجيب التمام!
دليل:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
انفجار آخر من الماضي: هل تتذكر هذه الصيغة؟
\ الخطيئة (أ - ب) = \ الخطيئة (أ) \ كوس (ب) - \ كوس (أ) \ الخطيئة (ب)
نحن على وشك استخدامه. الآن دعنا نثبت:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
يمكننا إعادة كتابة الخطيئة (π / 2 -x) مثله:
\ ابدأ {محاذاة} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {align}
لأننا نعلم
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {and} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
لذلك نحصل
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Cofunction حاسبة
جرب بعض الأمثلة للعمل مع الوظائف المشتركة بنفسك. ولكن إذا واجهتك مشكلة ، فإن Math Celebrity لديها آلة حاسبة ذات وظيفة مشتركة تعرض حلولًا خطوة بخطوة لمشاكل الوظيفة المشتركة.
حساب سعيد!