بمجرد أن تبدأ في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل ، قد تواجه تعابير مثل الخطيئة (2θ) ، حيث يُطلب منك العثور على قيمةθ. إن ممارسة التجربة والخطأ باستخدام الرسوم البيانية أو الآلة الحاسبة للعثور على الإجابة ستتراوح من كابوس طويل الأمد إلى مستحيل تمامًا. لحسن الحظ ، هويات الزاوية المزدوجة هنا للمساعدة. هذه أمثلة خاصة لما يعرف بالصيغة المركبة ، والتي تقسم وظائف النماذج (أ + ب) أو (أ – ب) وصولا إلى وظائف justأوب.
متطابقات الزاوية المزدوجة للجيب
هناك ثلاث متطابقات مزدوجة الزاوية ، واحدة لكل من دوال الجيب وجيب التمام والظل. لكن يمكن كتابة مطابقات الجيب وجيب التمام بطرق متعددة. فيما يلي طريقتان لكتابة متطابقة الزاوية المزدوجة لوظيفة الجيب:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
متطابقات الزاوية المزدوجة لجيب التمام
توجد طرق أخرى لكتابة هوية الزاوية المزدوجة لجيب التمام:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
الهوية ذات الزاوية المزدوجة للظل
لحسن الحظ ، هناك طريقة واحدة فقط لكتابة متطابقة الزاوية المزدوجة لوظيفة الظل:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
استخدام متطابقات الزاوية المزدوجة
تخيل أنك تواجه مثلثًا قائمًا حيث تعرف طول أضلاعه ، لكنك لا تعرف قياس زواياه. لقد طُلب منك أن تجدθ، أينθهي إحدى زوايا المثلث. إذا كان طول وتر المثلث يقيس 10 وحدات ، فإن الضلع المجاور للزاوية يقيس 6 وحدات والضلع المقابل للزاوية يساوي 8 وحدات ، فلا يهم أنك لا تعرف قياسهاθ; يمكنك استخدام معرفتك بالجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى إحدى صيغ الزاوية المزدوجة ، للعثور على الإجابة.
بمجرد اختيار زاوية ، يمكنك تعريف الجيب على أنه نسبة الضلع المقابل على الوتر ، وجيب التمام على أنه نسبة الضلع المجاور على الوتر. إذن في المثال المعطى للتو ، لديك:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \، \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
يمكنك إيجاد هذين التعبيرين لأنهما أهم لبنات البناء للصيغ ثنائية الزاوية.
نظرًا لوجود العديد من الصيغ ذات الزاوية المزدوجة للاختيار من بينها ، يمكنك تحديد الصيغة التي تبدو أسهل في الحساب وستقوم بإرجاع نوع المعلومات التي تحتاجها. في هذه الحالة ، لأنك تعرف الخطيئةθوجيب التمامθبالفعل ، من الواضح أن التعبير الأكثر ملاءمة هو:
\ الخطيئة (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
أنت تعرف بالفعل قيم sinθ و cosθ ، لذا استبدلها في المعادلة:
\ sin (2θ) = 2 × \ فارك {8} {10} × \ فارك {6} {10}
بمجرد التبسيط ، سيكون لديك:
\ الخطيئة (2θ) = \ فارك {96} {100}
يتم تقديم معظم المخططات المثلثية بالأرقام العشرية ، لذا عليك بعد ذلك العمل على القسمة التي يمثلها الكسر لتحويله إلى صورة عشرية. الآن لديك:
\ الخطيئة (2θ) = 0.96
أخيرًا ، أوجد الجيب العكسي أو القوس العكسي للقيمة 0.96 ، والمكتوب في صورة sin −1(0.96). أو بعبارة أخرى ، استخدم الآلة الحاسبة أو الرسم البياني لتقريب الزاوية التي لها جيب 0.96. كما اتضح ، هذا يساوي 73.7 درجة بالضبط. إذن 2θ= 73.7 درجة.
قسّم كل جانب من جوانب المعادلة على 2. يمنحك هذا:
θ = 36.85 \ نص {درجات}